Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
1) Решение краевой задачи для уравнения КПП
% - Й - (и - «(2r2-ri)/ri) = 0, п < г2, (27)
Ot дх
4^_оо —> 0(1), м|х_+00 —^ 1(0), O^u^l, (28)
имеет вид
и{х,і)=и{т) = еГ1Т{е{г2-Г1^т + с)Г1^Г1~Г2\
где т = ах + bt, а2 = l/(rir2), Ъ = (гі + г2)/(гіг2);
2) Решение краевой задачи для уравнения КПП
dt дх2 V У
яри краевых условиях (28) и заданной константе скорости Ъ распространения волны имеет вид
_ 2
ц(т) = ехр( " + 4 т) ( ехр(- ^ ^ т) + с ) , a2 = ^ + ^ ;
+ 2)6 \^ 2(г^ + 2)6 у (г; + 4)2
У) Для заданного вида инвариантного решения и[т) и заданных краевых условиях (28) закон изменения F(u) и решение краевой задачи для уравнения КПП имеют соответственно вид
Ь+Зх Ь-х X х-ь
F(и) = u-ub~x , и(т) = е2°2Т(е2°2Т + с) * ,
392
1.°
Глава 7
у Л--ra —-у + cxm 1yn = 0
у = x-(m+l)/(n-l)z^ dT = x-ldx
(m + l)(n + 3) . 2(m+ 1)
z +
(n+1)(71-1) (77+1)(77-1)
:z + czn =0, (¦) = cI/cIt
T
(77-I)V7TTTT (77 - 1)(77 + 3)
m = z, t = ax + ot, a = ±-, о = -;--—
(m + l)V2 2(m+l)
o« = o!m + f(u)) ад = ц+(" + 1)(га:^ см-
dt дх2
2(777 + 1)2
// , 7777 + 8 і . т-1 2 п У H--TjT—у + CX у = О
у = X іт+г)г, dr = X xdx
z + 5(m + l)i - 6(m + I)2z + cz2 = 0,
T
u = z, T = ax + bt, a = ±---, b =---—-—-
V6{m+1) 6(m + l)
2. Факторизация как метод нахождения инвариантных решений ... 393 3.°
У
7т + 13 Qx
у' + схт-гу2 = О
у = X (т+^)г, dr = X 1dx
z - |(m + l)i - hm + I)2Z + cz2 = О,
T
u = z, т = ax + bt, a = ±——r, b = —+-
7Ji + 1 m +
du dt
дх2
+ F(u), F(и) = -и +
Gc
(m+1)2
2. Факторизация как метод нахождения инвариантных решений уравнения КПП и связанных с ним уравнений Семенова и Зельдовича
2.1. Предварительные замечания
В работе (Маслов, Данилов, Волосов [178]) был использован прямой метод Хироты [228] для построения точных инвариантных решений вида и(т) = и(ах + Ы) нелинейного уравнения диффузии Колмогорова-Петровского-Пискунова (КПП)
(1)
F(O) = F(I) = 0, F'{O) = а>0, F'(и) < а, 0 < и < 1, (') = d/du. (2)
Этот же метод был применен к уравнению Семенова (Фитж-Хью-Нагумо) (Семёнов [216], Скотт [221]), используемому в теории цепных химических реакций, т. е. к уравнению (1) с условиями для F(и) :
F(O) = F(I) = 0, F(Ci1) = 0, F'(0) < 0, F'(l) < 0, F'(Ci1) > 0,0 < аг < 1,
(3)
394
Глава 7
и к уравнению Зельдовича (см. [178]), играющему фундаментальную роль в математической теории горения и взрыва, то есть к уравнению (1) с условиями для F (и) :
F(O) = F(I) = 0, F'{O) = 0, F'{I) < 0. (4)
В работах (Беркович [53], Berkovich [253]) (см. также п. 1) был применен другой прямой метод для нахождения точных инвариантных решений уравнения КПП, состоящий в использовании группового анализа в сочетании с методом автономизации. На этом пути были найдены самые общие выражения для нелинейного члена F(и), такие, чтобы соответствующее (1) полулинейное автономное ОДУ
7? + ЬіIм + b0F(u) = 0, бо, oi = const (5)
От от
допускало нетривиальную точечную симметрию.
В настоящем параграфе предлагается еще один прямой метод построения инвариантных решений уравнения КПП, основанный на факторизации полулинейных ОДУ. Установлена связь между полулинейным уравнением КПП, логистическим уравнением и полулинейными уравнениями Семенова и Зельдовича. Раскрытие этой связи позволило распространить метод факторизации на указанные уравнения, а также решить для них ряд краевых задач (см. также Беркович [54]).
2.2. Связь между обыкновенными полулинейными уравнениями КПП, Семенова, Зельдовича и логистическим уравнением
В работе (Беркович [53]) было показано, что в качестве нелинейного члена для уравнения КПП (1), (2) можно принять выражение
2Г2—1"1
F (и) = и — и Г1 Соответствующее ему полулинейное уравнение (5) будет иметь вид
J2 J 2Г2-Г!
+ (ri +r2)^f +V1T2(U-U »•I ) = 0, (6)
сіт1 ат
где т = ах + Ы, причем a2 = l/(r\r2), Ъ = (r\ + г2)/(г\г2).
Автономное ОДУ (6) допускает однопараметрическую группу точечных симметрии с генератором
2. Факторизация как метод нахождения инвариантных решений ... 395
а2 =
__ v(v + A) 2v' A + 2v '
В качестве нелинейного члена F(u) для уравнения Семенова используем выражение F(u) = —pv? + (р + q)u2 — qu, (р > q > 0, а\ = q(p), а для уравнения Зельдовича — выражение F(u) = uv{\ — и), v > 1.
Результатом наблюдения оказалось раскрытие связи между полулинейным уравнением Семенова
г і \ d2u , z1 2Q\du о з і пґ-t і Q\ 2 2о .
fsem(u) = ^+ {1-ip)-j--2и +2(1 + -)и - —и = 0, (8)
(т = ах + U, а2 = р/2, Ъ = q — р/2), а также полулинейным уравнением Зельдовича
fzeid(u) = -? + df + 2и2(1 -и) = 0 (9)
dTz dr
(т = ах + bt, а2 = 1/2, Ъ = —1/2) с уравнением КПП (7) при v = 2
/крР(и) = ^-ф + 2и(1-и2) = 0 (10)
drz dT
через посредство логистического уравнения
Щод{и) = ^+и2 -U = O. (11)
помимо группы трансляции вдоль переменной т с генератором X = -^-,
