Теория вероятностей и математическая статистика - Баврин И.И.
ISBN 5-06-005322-9
Скачать (прямая ссылка):
В данном случае /7 = 0,8, #=1-/7 = 0,2, п = 5, т = A. Поэтому по формуле Бернулли
= 4Т(гЬ)Т(°,8)Ч0,2)-< = bSf1 = = °'4096 - °'41-
Пример 6. В условии предыдущего примера найдем вероятность того, что из 5 больных выздоровят не менее 4.
Искомая вероятность есть сумма вероятностей Pi(A) + /?(5). Имеем:
P5(A) + Р5(5) = 0,4096 + (0,8)5 = 0,4096 + 0,32768 = 0,73728 = 0,74.
Задача об экстрасенсе. Обычный человек примерно в половине случаев правильно угадывает, в какой руке спрятан мелкий предмет.
Предположим, что верный ответ получен в трех случаях из четырех. Случайно ли это? Или при таком результате можно говорить о необычных способностях угадывающего?
Если принять вероятность угадывания в норме = то по формуле Бернулли
Pd 3) = Qtfiq,
где q=\ -/7, 48 или
Как видим, каждый четвертый нормальный человек правильно угадывает в трех случаях из четырех.
Допустим, что верный ответ получен в девяти случаях из десяти. Какова вероятность такого угадывания у нормального человека?
По формуле Бернулли
^о(9) = C,'0(i)9.1 = C1- .^r = 10• ^r = 0,01.
Таким образом, нормальный человек лишь в одном случае из 100 может случайно продемонстрировать такой результат. И если подобное угадывание происходит чаще, то можно, по-видимому, говорить, что угадыватель — экстрасенс (или мистификатор).
2. Распределение Пуассона*. Пусть проводится серия п независимых испытаний (и=1, 2, 3, ...), причем вероятность появления данного события А в этой серии P(A) = р„ > 0 зависит от ее номера п и стремится к нулю при п -> ~ (последовательность «редких событий»), Предположим, что для каждой серии среднее значение числа появлений события А постоянно, т. е.
Отсюда
пр„ = ц = const.
Pn = ц/л.
На основании формулы Бернулли (2.6) для вероятности появления события А в п-й серии ровно т раз имеет место формула
Пусть т фиксировано. Тогда
IimC:
'.-(?*
Iim
я(я -1)(/1-2) ...In -(W-I)] т\пт
Hm =
= ^-T Iim
кМГ
М)І"М)"
. 1 = е-ц
(здесь использован второй замечательный предел lim (1 + 1/х)х = е).
х-»«
* Симеон Пуассон (1781 —1840) — французский физик и математик. 4 - 4857
49 Поэтому
um
lim P„(m) = ~те-». rn
Если n велико, то в силу определения предела вероятность Р„(т) сколь угодно мало отличается от \іте~м. Отсюда при больших п для искомой вероятности Рп(т) имеем приближенную формулу Пуассона (для простоты знак приближенного равенства опущен).
Um
Р„(т) = Ь-е-д,
где ц = пр„.
Пример. Завод отправил на базу 500 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равна 0,002. Найдем вероятность того, что на базу придут три негодных изделия.
По условию п = 500, р„ = 0,002, т = 3. Поэтому ц=500 0,002=1 и искомая вероятность
/'500(3) = <Н - 0,06.
Определение. Говорят, что случайная величина X распрей делена по закону Пуассона, если эта величина задана таблицей
X 0 1 2 3
P е це-" — V H3 — г-м 3'
где ц — фиксированное положительное число (разным значениям ц отвечают разные распределения Пуассона).
Полезно проверить, что для приведенной таблицы сумма всех вероятностей равна единице. Действительно, с учетом известного разложения для ех имеем
е-»+ це-N- -у е-»+...= е-H^l + Ц + у- +... j = e-fe"= 1.
Распределение Пуассона заслуживает особого внимания, так как из всех дискретных распределений оно наиболее часто встречается в приложениях.
Найдем математическое ожидание дискретной величины X, распределенной по закону Пуассона. Согласно определению математического ожидания (§ 2.2, п. 2, примечание 2), имеем
M(X) =]Г к е-* = = цв-двд = Ц.
*=0 **1
Таким образом, параметр ц в распределении Пуассона есть не что иное, как математическое ожидание величины X.
50 Найдем далее D(X). Сначала найдем начальный момент второго порядка (§ 2.3, п. 4):
V2 = М(Х2).
Запишем закон распределения величины X1'.
X1 0 1 4 9
P е * це " H2 — е-* 2' Ц3 --а-Ц 3!
Отсюда
v2 = M(V) = = ^e
= це-
(к - 1)'
к-0 к-1 2-і (Jt - 1)' ~ 2* (к - 1)' +2j (к - 1)'
Jk=I
= Iie-
1*-|
(к - 1)
+ е*
Jk-I
= це~
IY
lZnk-D
+ &¦
= [12(в мем) + сем) =(^2 + (^.
Затем по известной формуле (§ 2.3, п. 4) вычислим дисперсию D(JT) = V2-V? + = [1.
Задача. (Редкие болезни.) Многие болезни достаточно редки или становятся таковыми после принятия профилактических и лечебных мер. Однако даже при самых благоприятных условиях в больших популяциях все же встречается некоторое число больных редкими болезнями. Например, при введении вакцины против полиомиелита иммунитет создается в 99,99% случаев. Какова вероятность того, что из 10 ООО вакцинированных детей заболеет один?
Вероятность заболеть /7=1 -0,9999 = 0,0001, число испытаний п= 10 000. Поэтому ц = 0,0001 10 000= 1, и по формуле Пуассона имеем
^oooo(I) = Jre-1 = 0,368.
Аналогично, вероятность, что заболеют 2 ребенка /',0000(2) = |е' =0,184, а вероятности заболевания 3 и 4 детей соответственно равны
»(3) =
0,061;
floooo(4) = -77 = 0,015.
