Теория вероятностей и математическая статистика - Баврин И.И.
ISBN 5-06-005322-9
Скачать (прямая ссылка):
Примеры. 1). Число очков, выпавших при однократном бросании игральной кости, есть случайная величина, она может принять одно из значений: 1, 2, 3, 4, 5, 6;
2) прирост массы домашнего животного за месяц есть случайная величина, которая может иметь значение из некоторого числового промежутка;
3) число родившихся мальчиков среди пяти новорожденных есть случайная величина, которая может принять значения 0, 1, 2, 3, 4, 5;
4) расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле из орудия, есть случайная величина, возможные значения которой принадлежат некоторому промежутку.
Случайные величины обычно обозначают прописными буквами X, У, Z, а их возможные значения — соответствующими строчными буквами х, у, Z- Например, если случайная величина X имеет три возможных значения, то они будут обозначены так:
Xu X2, Хз.
Определение 2. Случайная величина, принимающая различные значения, которые можно записать в виде конечной или бесконечной последовательности, называется дискретной случайной величиной.
Рассмотрим дискретные случайные величины, множество допустимых значений которых конечно.
Случайные величины из примеров 1) и 3) дискретные.
Определение 3. Случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого числового промежутка, называйся непрерывной случайной величиной.
Случайные величины из примеров 2) и 4) являются непрерывными.
Определение 4. Под суммой (произведением) случайных вели-Чин Xn у понимают случайную величину Z=X+ У (Z=XY), воз-
3 -4857 33 можные значения которой состоят из сумм (произведений) каждого возможного значения величины X и каждого возможного значения величины У.
2. Законы распределения дискретных случайных величин. Рассмотрим дискретную случайную величину X с конечным множеством возможных значений. Величина X считается заданной, если перечислены все ее возможные значения, а также вероятности, с которыми величина X может принимать эти значения. Указанный перечень всех ее возможных значений и их вероятностей называется законом распределения дискретной случайной величины. Закон распределения дискретной случайной величины может быть задан с помощью таблицы:
X Xl Xi X! х„.1 х„
P Pi PI Jh р»-\ Pn
В верхней строке выписываются все возможные значения jc,, jc2, ..., х, величины Л", В нижней строке выписываются вероятности Pu P2, ..., р„ значений JCi, Jc2, ..., jc„. Читается таблица следующим образом: случайная величина X может принимать значения х, с вероятностями р, (/= 1, 2, ..., л).
Так как события X=X1 (і= 1, 2, ..., п) образуют полную группу несовместимых событий, то
/>, +/? +... +Pn=I-
Пример. В денежной лотерее раньше разыгрывались: 1 выигрыш в 1000 р., 10 выигрышей по 100 р. и 100 выигрышей по 1 р. при общем числе билетов 10 000. Найдем закон распределения случайного выигрыша X для владельца одного лотерейного билета.
Здесь возможные значения для X есть: JC1 = O, JC2=I, jc3 = 100, Jc4=IOOO. Вероятности их будут: р2 = 0,01, />3 = 0,001, />4 = 0,0001, р, = 1 - 0,01 - 0,001 - 0,0001 = 0,9889. Следовательно, закон распределения выигрыша X может быть задан таблицей:
X 0 1 100 1000
P 0,9889 0,01 0,001 0,0001
В заключение отметим так называемую «механическую» интерпретацию представленной таблицы. Представим себе, что некоторая масса, равная единице, распределена по оси абсцисс так, что в п отдельных точках Jcb jc2, ..., jc„ сосредоточены соответственно массы pt, рг, ..., р„. Тогда эта таблица описывает систему материальных точек, размещенных на оси абсцисс.
34 § 2.2. Математическое ожидание дискретной случайной величины
1. Понятие математического ожидания. Закон распределения полностью задает дискретную случайную величину. Однако часто встречаются случаи, когда закон распределения случайной величины неизвестен. В таких случаях случайную величину изучают по ее числовым характеристикам. Одной из таких характеристик является математическое ожидание.
Пусть некоторая дискретная случайная величина X с конечным числом своих значений задана законом распределения:
X X1 X2 Xn
P Pi Рг P-
Определение. Математическим ожиданием M(X) дискретной случайной величины X называется сумма произведений всех возможных значений величины X на соответствующие вероятности:
M(X) = XiP^X2Pi + ... + х„р„. (2.1)
Пример. Найдем математическое ожидание выигрыша X в примере из § 2.1 (п. 2).
Используя полученную там таблицу, имеем
M(X) = 0 ¦ 0,9889 + 1 ¦ 0,01 + 100 ¦ 0,001 + 1000 ¦ 0,0001 = 0,21 (руб.).
Очевидно, M(X) = 21 коп. есть справедливая стоимость одного лотерейного билета.
Теорема. Математическое ожидание дискретной случайной величины X приближенно равно среднему арифметическому всех ее значений (при достаточно большом числе испытаний).
Доказательство. Предположим, что произведено п испытаний, в которых дискретная случайная величина X приняла значения Х|, ..., Xk соответственно Wi, ..., тк раз, так что т{ +... + тк = п. Тогда среднее арифметическое всех значений, принятых величиной X, выразится равенством
_ Ximi+ х2т2+ ... + хктк хср - „ >
