Теория вероятностей и математическая статистика - Баврин И.И.
ISBN 5-06-005322-9
Скачать (прямая ссылка):
Из (2.13) следует, что геометрически вероятность Р(а<Х<Ь) представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком плотности вероятности y=f(x) и отрезками прямых у = 0, X = а и X= Ь.
Следствие. В частности, если f(x) — четная функция и концы интервала симметричны относительно начала координат, то
а
Р(~а < X < а) = Р(\Х\<а) = 2J f(x)dx. (2.15)
о
54 Действительно,
а О а 0 а
J f(x) dx = j f(x) dx + j f(x) Л = -J /(-*) dx + J /(*) dx =
-а -а о о 0
a a a
= \f(x)dx + \f(x)dx = 2\f(x)dx.
0 0 0
Пример 1. Пусть задана плотность вероятности случайной величины X
0 при X < 0; Ix при 0 < х < 1; 0 при X > 1.
Найдем вероятность того, что в результате испытания X примет значение, принадлежащее интервалу (0,5; 1).
Согласно формуле (2.13), искомая вероятность
і і F(0,5 < Х< 1) = 2 j xdx =х2 I = 0,75.
0,5 0,5
Заменяя в формуле (2.14) а на и b на х, получим
X
F(x)-F(-«)= jf(x)dx, откуда в силу приведенного выше следствия (п. 1)
X
F(X)= jf(x) dx. (2.16)
Выражение (2.16) позволяет найти интегральную функцию распределения F(x) по ее плотности вероятности.
Заметим, что из формулы (2.16) и отмеченного следствия вытекает, что
\f(x)dx = 1. (2.17)
П р и м е р 2. Пусть плотность вероятности случайной величины X задана так:
/(*) = < * <+=°).
Требуется найти коэффициент А, функцию распределения F(x) и вероятность попадания случайной величины X в интервал (0; 1).
55 Коэффициент Л найдем, воспользовавшись соотношением (2.17). Так как
— о +-
Г ґі \ j Г Adx Ґ Adx , Г Adx
J f(x) = J = J j—f + J j—f =
о
о +-
= A arctg х I + A arctg х | = /![arctg (+<*>) - arctg (-<*>)] = Ал,
о
то Ak= 1, откуда А=\/к.
Применяя формулу (2.16), получим функцию распределения F(x):
ЬгЬу=i arctH=
= ^ [arctg X - arctg (-<*>)] = I + ^ arctg х.
Наконец, формулы (2.9) и (2.12) с учетом найденного значения функции F(x) дают
Р(0 < Х< 1) = F(I) - F(O) = 0,25.
§ 2.6. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины
Пусть непрерывная случайная величина X задана плотностью вероятности /(х). Допустим, что все возможные значения ^принадлежат отрезку [а; Ъ]. Точками X0 = а < Х\ <X2... < х„_, <х„ = b разобьем его на п частичных отрезков, длины которых обозначим через Дхь Ax2, ..., Дх„. Наибольшую из этих длин обозначим через X.
Предполагая определить математическое ожидание непрерывной случайной величины по аналогии с дискретной, составим сумму
п
Xk f (Xk)AXk
*=і
[напомним, что произведение f(xk)Axk при малых Axk приближенно равно вероятности попадания случайной величины X в интервал (х*; X* +Ax*) см. § 2.5, п. 2]. Перейдя в этой сумме к пределу при
ь
X-»0, получим определенный интеграл Jx/(x)dx, который и на-
а
зывают математическим ожиданием непрерывной случайной величины X, все возможные значения которой принадлежат отрезку [а; Ь\.
ь
M(X)=\xf(x)dx.
а
56 Если возможные значения непрерывной случайной величины X принадлежат всей числовой оси, то математическое ожидание определяется интегралом
M(X) = \xf(x)dx. (2.18)
При этом предполагается, что несобственный интеграл сходится
абсолютно, т.е. интеграл ^\x\f(x)dx существует.
По аналогии с дисперсией дискретной случайной величины определяется и дисперсия непрерывной случайной величины.
Дисперсией непрерывной случайной величины X называют математическое ожидание квадрата ее отклонения.
Если все возможные значения X принадлежат отрезку [а; Ь], то
ъ
D(X) =Ju - M(X)Yf(x)dx,
а
если возможные значения X принадлежат всей числовой оси, то D(X) = \{х-M(X)Y f(x)dx (2.19)
при условии, что последний несобственный интеграл сходится.
Заметим, что свойства математического ожидания и дисперсии дискретных случайных величин сохраняются и для непрерывных случайных ъеличин.
Наконец, для непрерывной случайной величины X среднее квад-ратическое отклонение а(Л") определяется, как и для дискретной
величины, формулой a(Z) = JD(X).
Пример. Пусть случайная величина X задана плотностью вероятности
О при д: < 0;
J при 0 < X < 2; 0 при X > 2.
Определим математическое ожидание, дисперсию и среднее квад-ратическое отклонение величины X.
Согласно формулам (2.18) и (2.19), имеем:
2 2
M(X) = \xf(x)dx = \\x4x = ^\ = 4/3 - 1,33.
57 +•• I
D(X) = J (x - fjf(x) dx=j(x- -?2 \ xdx =
O
O O
и наконец,
с(Х) = ЩХ) = 4 = 0.47-
§ 2.7. Основные законы распределения непрерывных случайных величин
1. Равномерное распределение. Распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, принимающей все свои значения из отрезка [a; b], называется равномерным, если ее плотность вероятности на этом отрезке постоянна, а вне его равна нулю, т. е.
/(X) =
0 при X < а; с при а < х < Ь\ 0 при х > Ь.
Отсюда
+- ь
J f(x)dx =jcdx = c(b-а).
-¦» а
Но, как известно (см. § 2.5, п. 2),
jf(x)dx = 1.
(2.20)
(2.21)
Из сравнения равенств (2.20) и (2.21) получаем с =
Итак, плотность вероятности непрерывной случайной величины X, распределенной равномерно на отрезке [a; b], имеет вид
