Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
Докажем теперь интересное свойство представлений простых групп Ли.
Теорема 2. Связная простая некомпактная группа JIu G не допускает конечномерных унитарных представлений, за исключением тривиального.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим сначала, что ядро отображения g -> Tg состоит только из единицы. Тогда гомоморфизм g Т„ является точным. Следовательно, группа (Tg) изоморфна G. Кроме того, {Tg} связна в силу непрерывности отображения g —>- Tg. Значит, если G допускает конечномерное, скажем «-мерное, унитарное представление, то {Tg] является связной и простой подгруппой в U (п), которая, согласно теореме 3.10, является замкнутой. Следовательно, G компактна.
Пусть теперь Zg — центр в G. Ясно, что Z0 дискретен. Пусть Zc — подгруппа в Z0, совпадающая с ядром гомоморфизма g -»- Tg. G локально изоморфна GIZg. Ввиду некомпактности G формы Киллинга как для G, так и для GIZg, не дефинитны. Следовательно, GIZ0 также некомпактна и удовлетворяет предположению первой части доказательства.
Эта теорема имеет важные следствия в квантовой теории. Так как представление g -»- Tg физической группы симметрии G должно сохранять вероятность (скалярное произведение), то T должно быть унитарным (гл. 14). С другой стороны, многие физические группы симметрии, такие как группа Лоренца SO (З, 1) или группа де Ситтера SO (4, 1), являются простыми и некомпактными. Следовательно, мы должны пользоваться бесконечномерными представлениями для описания состояний рассматриваемых физических объектов.
Замечание. Теорема 2, вообще говоря, для полупростых некомпактных групп не верна. Например, полупростая связная некомпактная группа Ли
G = SO (3, 1) X SU (3) имеет унитарное конечномерное представление:
(gl, gl)->I-Te„ € SO (3, 1), ga€SU(3).
Однако теорема 2 влечет за собой для полунростых групп следующее следствие. Конечномерные представления групп Jlu
249
СЛЕДСТВИЕ 4. Связная полупростая некомпактная группа JJu не может допускать точного унитарного конечномерного представления.
Доказательство вытекает из разложения G на простые факторы и из теоремы 2.
Пусть теперь G — комплексная группа Ли, н пусть h, к, ... ...,/„— локальные (комплексные) координаты в G. Различаем следующие классы представлений G.
Определение 1. О представлении g ->- Tg комплексной группы G говорят, что оно комплексно-аналитическое, если оно аналитически зависит от параметров h, ..., Itl, комплексно-антианалитическое, если оно аналитически зависит от Ii, ..., ta, и вещественно-аналитическое, если оно аналитически зависит от параметров Re h, Im h, ..., Retn, Im tn (или h, ..., tn, h, ..., tn).
Пример 1. Пусть G — комплексная матричная группа. Тогда представление g -> g аналитично, g —>- g антианалитично и g ->¦
g ® g вещественно.
Если g Tg — комплексно-аналитическое неприводимое представление группы GbH, ограничение его на подгруппу N может быть, вообще говоря, приводимым. Однако если N — вещественная форма группы G (т. е. комплексное расширение N совпадает с G), то имеется следующая теорема.
TeoPEMA 3. Пусть Tg — комплексно-аналитическое представление группы G, a Tn — сужение T0 на еещесптенную форму N группы G. Тогда T0 неприводимо (вполне приводимо) тогда и только тогда, когда Tn неприводимо (вполне приводимо).
Доказательство. По предположению каждый матричный элемент является аналитической функцией комплексных параметров ti, ..., tn в G. Если некоторый матричный элемент равен нулю на G, то он, в частности, равен нулю и на N-, обратно, в силу единственности аналитического продолжения, если матричный элемент равен нулю на N, то он равен нулю и на G. Это доказывает утверждение теоремы 3.
Используя «унитарный трюк Вейля» (построение представлений вещественных форм Gr заданной комплексной группы Ли Gc путем ограничения представлений группы Gc на Gr), получаем глобальные представления вещественных полупростых групп, таких как SL (п, R), SU (п), SU (р, q) и других, из представлений комплексной группы Ли GL (п, С). Поскольку структура комплексных групп более проста, чем вещественных, этим способом получается значительное упрощение теории представлений полупростых групп Ли. 250
Г лава 5
Докажем теперь фундаментальную теорему Вейля о полной приводимости представлений полупростых групп Ли.
ТЕОРЕМА 4 (Вейль). Пусть G — связная полупростая группа Ли, и пусть gTg — любое конечномерное представление группы G в пространстве Н. Тогда
H = H1 ® H2 ® . . . ® Hn, (7)
где каждое Hi инвариантно.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Доказательство заключается в сведении задачи к полной приводимости в случае компактных групп. Пусть L — алгебра Ли группы G, Lc — ее комплексное расширение и Lk — максимальная компактная подалгебра в Lc. Из теоремы 1.5.2 мы знаем, что Lck также является вещественной формой Lc, т. е. комплексное расширение алгебры Lck совпадает с Lc. Представление T группы G индуцирует представление L З X -*¦ T (X) алгебры LbH посредством линейных (матричных) преобразований. Поскольку Lc = L + і L, представление T (X) алгебры L задает представление Tc алгебры L0, а также представление T0k алгебры L°k. Согласно теореме 3, алгебра Ли линейных преобразований вполне приводима тогда и только тогда, когда ее комплекси-фикация вполне приводима. Следовательно, мы можем свести задачу доказательства полной приводимости T (X) к доказательству полной приводимости Tck (через Tc). Пусть Gk — связанная с L0k компактная группа Ли. Тогда ввиду теоремы 7.1.4 мы знаем, что каждое представление Gk вполне приводимо. Значит, представление Tck алгебры L0k, а следовательно, и T (X) должны быть вполне приводимыми. Взяв экспоненту от представления T (X) алгебры L, что дает глобальное представление T группы G, получаем требуемую полную приводимость Т.
