Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
р, q
Me (T) является минимальным левым идеалом групповой алгебры M группы Sn и, следовательно, неприводимую компоненту регулярного представления. Кроме того, идеалы, соответствующие различным диаграммам с одной и той же схемой, изоморфны, а идеалы, соответствующие различным схемам, неизоморфны.
К сожалению, не существует общего алгоритма, который давал бы минимальные идеалы групповой алгебры ,для любой конечной группы, как в случае группы Sn. Кажется, что это неразрешимая задача.
§ 6. Комментарии и дополнения
1. В доказательствах большинства теорем этой главы мы явно использовали конечность группового объема V = j dx.
g
Поэтому мы не можем ожидать, что эти теоремы могут быть прямо распространены на некомпактные группы, для которых V = оо. Однако обобщение некоторых теорем (в частности теоремы Петера—Вейля) на некомпактные группы возможно (см. гл. 14, § 2).
2. Функции Dpq (X) играют особую роль в теории представлений компактных групп и их приложениях. К сожалению, эти функции явно известны только для некоторых случаев: SO (3) (см. упражнение 5.8.1.1), SO (4) (см. упражнение 7.1.2), U (3). Гельфанд и Граев вывели рекурсивные формулы для функций D для U (я). См. также работу Лезнова и Федосеева [516].
3. Можно показать, что для простых групп Ли функции Dspv (х) являются собственными функциями максимального множества коммутирующих операторов обертывающей алгебры. (Общее доказательство этого утверждения для компактных и некомпактных групп см. в гл. 14, § 2.) Это свойство является отправной точкой в явном вычислении Dsvq (д-) для отдельных групп. 240
Г лава 5
4. Теорема 1.3 была впервые доказана Гуревичем [357]. Здесь мы следовали изящному доказательству Нахбина [612] (см. также [479]). Проективные операторы для конечных и компактных групп обширно использовались Вигнером [854]. Он впервые показал эффективность этой техники в решении ряда задач квантовой механики.
Интересно, что теория проективных операторов может быть распространена на некомпактные группы (см. гл. 14, § 5).
Первое явное вычисление коэффициентов К—Г восходит к Вигнеру. Он вывел формулу (4.10) для группы SO (3).
В вычислении весов изоспиновых состояний мы следовали работе Церулуса [178]. Он также вычислил другие частные случаи формулы (4.18). Недавно были рассмотрены более общие формулы, в которых проведено суммирование по всем возможным конечным состояниям (см. [720]).
Таблица 1
Все конечные группы до порядка 15
Порядок Группы
1 Z1
2 -S2
3
4 Z2X Z2- D2
5 Zt
6 Zl- — Z2 X Z3, S3 — D3
7 Z7
8 Z8, D1, Z4 X Z2, Q, Z2 Z2X Z2
9 Z9, Zg X Zg
IO Zio -Z2X Z6, Db
11 Zn
12 Zn — Z3 X Zi, Z2X Z6 Z2X Z2X Z3, D6-Z2X Dg
Atl (2, 2, 3>
13 Zt3
14 Zj4 -Z2X Z7, D1
15 Zu ~ Z9X Zb
5. В табл. 1 мы даем все конечные группы до порядка 15. Относительно этой таблицы отметим следующее:
1) An — циклическая группа порядка п. Если п — простое число, то существует только одна группа, именно циклическая группа.
2) Если р и q — простые одно относительно другого, то Zpq — ~ Zr X Zq (изоморфно прямому произведению).
3) D11 — группа диэдра порядка 2п (группа преобразований, отображающая регулярный п-угольнпк в себя, которая состоит Представления коммутативных групп
241
из я вращений на угол 2nrln, г 0, 1,2, ..., п — 1, и отражения плоскости с вращением на 2nrln). D11 порождается двумя элементами X и у, удовлетворяющими соотношениям
х2 = е, уп = е, (Xljf= е.
4) (2, 2, т) — двухциклическая группа порядка 4т. Она порождается двумя элементами х, у, удовлетворяющими соотношениям *)
X4 = C, X1 = IJm, IJX = Xir1.
6. Мы рассмотрели в этой главе только сильно непрерывные представления. Однако оказывается, что компактные группы имеют интересные разрывные представления. Приведем две теоремы, которые прекрасно иллюстрируют эту проблему.
ТЕОРЕМА 1. Унитарное представление связной компактной полупростой группы JIu в конечномерном гильбертовом пространстве обязательно непрерывно.
(Доказательство см. в [823].)
Ясно, что в силу рассмотренной в гл. 3, § 8, структуры компактных групп эта теорема несправедлива для некомпактных групп.
TeOPEMA 2. Пусть G — локально компактная топологическая группа, каждое неприводимое унитарное представление в гильбертовом пространстве которой непрерывно. Тогда G дискретна.
(Доказательство см. в 11151.)
Теорема 2 предполагает, что каждая связная компактная полупростая группа Ли должна допускать разрывные бесконечномерные неприводимые унитарные представления в гильбертовом пространстве. Интересно, что в случае группы вращений такие представления имеют важное физическое значение.
§ 7. Упражнения
§ 1.1. Покажите, что матричные элементы неприводимых представлений группы SO (4) имеют вид
0IrJl а' P- ?) = ?&*;(«Р. ?)?*,;*°- ?. Y).
где функции Dmm' задаются формулой (5.8.1).
Указание. Используйте изоморфизм so (4) ~ so (3) © so (3), данный в табл. 1.5.1.
]) Кокстср и Мозер [199] дали большие классы групп, порождаемых соотношениями этою типа. 242
