Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
Многочисленные примеры физических задач, в которых возникает необходимость исследования асимптотик интегралов, см. в работах М. Берри (М. Berry), Дж. Ни (J. Nye), цитированных в библиографии. Отметим также интересные статьи [246—248].
Б. Принцип стационарной фазы гласит: основной вклад в осциллирующий интеграл дают окрестности критических точек фазы.
Теорема 1. Пусть амплитуда осциллирующего интеграла имеет компактный носитель. Пусть фаза осциллирующего интеграла не имеет критических точек на носителе амплитуды. Тогда при стремлении параметра осциллирующего интеграла к +оо интеграл стремится к нулю быстрее любой степени параметра.
Доказательство. Пусть сначала интеграл одномерный. Проинтегрируем его по частям:
+ 00 +00
J ей/ (X) ф (х) dx=~ j W (ф (ж)//' {x))'dx.
— 00 — OO
Повторяя интегрирование достаточное число раз, получим теорему. Многомерный случай сводится к одномерному с помощью разбиения единицы и перехода к новым переменным интегрирования, в которых функция фазы — одна из переменных.
В. И н т е г р а л Френеля. Осциллирующий интеграл, фаза которого имеет только невырожденные критические точки, называется интегралом Френеля.
Пример. Рассмотрим одно- Рис- 52-
мерный осциллирующий интеграл,
фазой которого служит функция xs. На рис. 52 изображен график у=cos (тх3)ф(х) вещественной части подынтегрального выражения осциллирующего интеграла. Ясно, что при больших значениях параметра т интеграл пропорционален площади под первым витком 126
!ОСЦИЛЛИРУЮЩИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. II
графика, т. е. пропорционален ф(0)т~'/». Точное вычисление показывает, что при стремлении параметра т к +оо осциллирующий интеграл представим в виде
Ф (Q)YrIilx exp (i'jt/4)
и остаточного члена порядка 0(т~3/2) (см. [96]).
Рассмотрим многомерный интеграл Френеля
j exp (ixf (х)) ф (х) dxt... dxn.
R»
Теорема 2 (см. [95, 96]). Предположим, что фаза этого интеграла имеет невырожденную критическую точку в начале координат, а носитель амплитуды компактен и не содержит других критических точек фазы. Тогда при стремлении параметра интеграла к +оо интеграл представим в виде
Ф (0) (2п/х)»/• exp (ixf (0) + (m/4) sign fxx (0)) | det fxx (0) | - +
где Signfxx(O)—сигнатура матрицы вторых производных фазы в начале координат, det fxx (0)—определитель матрицы вторых производных фазы в начале координат.
Доказательство. По лемме Морса фаза имеет вид УЇ + • • ¦. ¦ + У%—У%+і— • • • —Уп в подходящей системе координат в окрестности критической точки. Поэтому теорему достаточно доказать в этом случае. Этот случай с помощью теоремы Фубини легко сводится к утверждению предыдущего примера. Теорема доказана.
Г. Каустики. В приложениях, как правило, фазы и амплитуды осциллирующих интегралов зависят от дополнительных параметров. Рассмотрим такой интеграл. Предположим, что фаза является общим семейством функций, зависящих от дополнительных параметров (см. по этому поводу главу 2 ОДО-1). В этом случае интеграл является интегралом Френеля для почти всех значений параметров и при этих значениях имеет порядок т~п12 (теорема 2). Множество значений параметров, при которых фаза имеет вырожденную критическую точку, образует гиперповерхность в пространстве параметров. Эта гиперповерхность называется каустикой. При каустических значениях параметров порядок стремления интеграла к нулю определяется вырожденными критическими точками фазы.
Д. Асимптотики осциллирующих интегралов вблизи каустики. Предположим, что при выделенном значении дополнительных параметров фаза осциллирующего интеграла имеет единственную критическую точку и фаза, рассматриваемая как семейство функций, зависящих от параметров, является семейством функций общего положения. В этом случае f 6]
ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ
127
каустика в окрестности выделенного значения параметров называется элементарной.
Примеры элементарных каустик, встречающихся при числе параметров 2 и 3, изображены на рис. 53—56, где около каждой части каустик приведены типы вырожденных критических точек фазы, имеющихся при этих каустических значениях параметров.
Например, Л 2+Л г означает, что фаза имеет две критические точки типа А 2, а остальные критические точки фазы невырождены. Каждая вырожденная критическая точка фазы дает в интеграл вклад порядка х^—"/2. Число ? для критических точек типов Ak, Dh равно, соответственно, (k—1)/(2^+2), (k—2)/(2k—2) (см. ниже теорему 4).
Согласно результатам главы III ОДО-1 для фаз, зависящих общим образом от двух или трех параметров, каждая элементарная каустика локально диффеоморфна одной из каустик, изображенных на рис. 53—56. Значениями параметров, переходящим друг в друга при локальном диффеоморфизме, отвечают интегралы равных порядков.
Предположим, что дополнительных параметров четыре и один из параметров выделен, мы будем называть его временем. Тогда в зависимости от времени каустики перестраиваются. Для семейств функций общего положения все возможные перестройки указаны на рис. 57—59. Классификация перестроек каустик выполнена В. М. Закалюкиным (см. главу III ОДО-1). Каждая перестройка имеет свое обозначение. Соответствующие этим обозначениям семейства приведены в п. 22.3 ОДО-1.
