Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
при больших значениях вещественного параметра т. Здесь / и <р — гладкие функции» Функция / называется фазой, функция <р называется амплитудой. Согласно принципу стационарной фазы основной вклад в асимптотику дают окрестности критических точек фазы. В главе обсуждаются связи асимптотик с различными характеристиками критических точек фазы (разрешением особенностей, многогранниками Ньютона), излагаются методы вычисления асимптотик. В следующей главе обсуждаются связи асимптотик с моно-дромией и смешанными структурами Ходжа критических точек.
В последнее десятилетие теория особенностей исключительно тесно связана с исследованием осциллирующих интегралов. С одной стороны, многие разумные задачи теории особенностей возникли из попыток понять природу поведения интегралов. С другой стороны, многие из исследований критических точек нашли прямые приложения в исследованиях асимптотик. В качестве первого примера напомним, что классификация простых критических точек функции возникла как побочный продукт вычисления асимптотик простейших осциллирующих интегралов (см. [3, 4]). В качестве второго примера отметим связь асимптотик интегралов и смешанных структур Ходжа критических точек (см. главу III).
§ 6. Обсуждение результатов
6.1. Примеры, определения.
А. Осциллирующие интегралы и коротковолновые колебания. Задачи оптики, акустики, квантовой механики, теории уравнений в частных производных, теории вероятностей, теории чисел приводят к необходимости исследовать осциллирующие интегралы при больших значениях параметра.
Пример. Рассмотрим поверхность в трехмерном пространстве. Предположим, что каждая точка поверхности излучает сферическую волну фиксированной частоты и фиксированной длины. 124
!ОСЦИЛЛИРУЮЩИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. II
Предположим, что длина волны мала по сравнению с размерами поверхности и со скоростью изменения амплитуды волны при изменении точки поверхности.
Суммарный колебательный режим в точке у пространства за-
. Ге2л?||Х-1/|1А
дается функцией e2IlI<»<J——Ф (х)dx, где t—время, to—
частота, X -— длина волны, S — поверхность, излучающая волны, Ф — амплитуда, dx — элемент площади поверхности. Таким образом, сложное колебание задается осциллирующим интегралом, в котором роль большого вещественного параметра играет величина, обратная к длине волны, а фазой служит функция расстояния от точки поверхности до фиксированной точки пространства. Основной вклад в сложное колебание (т. е. в осциллирующий интеграл) дают окрестности критических точек фазы. Если все критические точки фазы невырождены, то вклад в сложное колебание от каждой из них пропорционален длине волны. Если фаза имеет вырожденные критические точки, то вклад их малых окрестностей в сложное колебание еще больше, а именно, порядок вклада пропорционален длине волны в некоторой степени, меньшей чем 1, Как правило, функция на поверхности, равная расстоянию до фиксированной точки пространства, имеет только невырожденные критические точки. Точка пространства называется каустической или фокальной, если функция на поверхности, равная расстоянию до точки, имеет вырожденную критическую точку. Критические точки образуют в пространстве новую поверхность, .называемую каустикой. В точках каустики сложное колебание имеет нестандартно большую величину. Если поверхность излучает световые волны, то каустика — это поверхность нестандартно ярких точек. Ее можно видеть на стене, освещенной лучами, отраженными от вогнутой поверхности (например, поверхности чашки). Каустику можно определить по-другому. Каустика — это множество критических значений экспоненциального отображения пространства нормального расслоения излучающей поверхности. Напомним определение экспоненциального отображения. Точкой пространства нормального расслоения является пара, состоящая из точки поверхности и приложенного в ней вектора, перпендикулярного к поверхности. Экспоненциальное отображение относит такой паре точку пространства, являющуюся конечной точкой вектора. Наконец, есть третье описание каустики. На нормали к излучающей поверхности отложим главные радиусы кривизны. Поверхность конечных точек всех таких отрезков является каустикой (см. [44]). Укажем еще один пример появления осциллирующих интегралов.
Одной из классических задач теории линейных дифференциальных уравнений с частными производными является задача построения асимптотики по параметру решения задачи Коши с быстро осциллирующими начальными данными. Асимптотические методы f 6]_обсуждение результатов_125
(см. [75—77]) приводят в этой задаче к следующему результату. Для любого натурального N в малой окрестности любой точки у° решение задачи Коши представимо в виде конечной суммы осциллирующих интегралов
J eixF(y, х) ф (уу Xf (if)"I) dX
и остаточного члена порядка o{x~N) при т—>¦ -f-oo. В этом интеграле F—вещественнозначная функция, т—большой параметр задачи, X'—вещественные параметры, функция ф финитна по х и является полиномом по (it)-1. Поэтому вычисление асимптотики решения задачи Коши сводится к вычислению асимптотик осциллирующих интегралов.
