Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
1) пространство F" = Tp1 ({]\гр | ^ ej,}) гомотопически эквивалентно своему подпространству X = /"1^ U {af (0}^), являющемуся прообразом объединения путей Ui,
2) факторпространство X/F — X/fp1 (z(0)) гомотопически эквивалентно букету V0 сфер размерности (п — р +1);
3) под действием граничного гомоморфизма Hn_p+1(X/F)= =#„_p+i(X, F)—>- Нп_р (F) пары (X, F) циклы, соответствующие этим сферам, переходят в классы гомологий исчезающих циклов A1.....AVo.
Отсюда следует односвязность неособого многообразия уровня F отображения f (при (п — /э) > 1; при (п — р) =SC 1 доказательство теоремы 4 еще проще). Из общих утверждений о комплексных подмногообразиях в пространстве С" вытекает, что группы Hi (F; Z) гомологий пространства F являются нулевыми при і > (п — р), а группа #(„_я, (F\ Z) является свободной абелевой. Это следует, например, из того, что всякое неособое комплексное подмногообразие шара Bp в пространстве С", имеющее (комплексную) размерность т, гомотопически эквивалентно конечному клеточному комплексу (вещественной) размерности т. Это утверждение может быть доказано точно так же, как теорема Андреотти и Франкела в [78], отличающаяся тем, что комплексное многообразие рассматривается не в шаре Bp, а во всем пространстве С.
Из точной гомологической последовательности пары (X, F): .. . Hl+1 (X) Н{+1 (X, F) Hi (F) -> H1 (X)
вытекает, что Hi(F) = O при іф(п—р) и имеет место короткая точная последовательность
о — нп_р+1 (X) — Нп_р+1 (X, F) — Нп_р (F)-, 0,
в которой все группы являются свободными абелевыми. Отсюда следует, что неособое многообразие уровня F отображения f гомотопически эквивалентно букету (v0 — Jx1) сфер размерности (п—р), где Ji1 — ранг группы (п—р-\- 1)-мерных гомологий неособого многообразия уровня F' отображения f' = (flt ..., /р_х), a V0—количество критических точек функции fp на многообразии F' (считая с их кратностями). Тем самым теорема 4 доказана.
По аналогии со случаем обычной особенности функции (С", 0) —> —*(С, 0) число р-о = (v0—щ),.равное рангу группы (п—р)-мерных 118
топологическое строение
[гл. j
гомологий неособого многообразия уровня F ростка отображения f:(C", 0)—»-(О, 0) называется числом Милнора изолированной особенности ростка /.
При доказательстве теоремы 4 нами была построена короткая точная последовательность
Z)—*0,
где щ—число Милнора изолированной особенности ростка f' = (fi, ¦ ¦ ¦, fp-i):(Св, 0)—>(0~\ 0), получающегося из ростка/ откидыванием одной из компонент ifp), V0—количество критических точек (с учетом кратностей) функции fp на неособом многообразии уровня ростка отображения /' вблизи особой точки. Базис группы Zv° образуют (формальные) исчезающие циклы A1, ... ..., AVo, соответствующие путям U1, ..., Wv0, описанным выше. Их индексы пересечений на неособом многообразии уровня F ростка / определяют билинейную форму на группе Zv'. Группа Z^ совпадает с группой линейных соотношений между исчезающими циклами A1, ..., AVo в группе Hn^p (F) гомологий неособого многообразия уровня отображения /. Она, конечно, лежит в ядре формы, определяемой на группе Zv° индексами пересечений.
Натуральные числа и v0, естественно, зависят от выбора системы координат Z1, ..., Zp в пространстве О. Однако нетрудно видеть, что для системы координат zt, ..., гр общего вида числа [Ii и V0 зависят только от самого ростка /:(С", 0)—>-—>-(«О, 0). Таким образом, для изолированной особенности ростка полного пересечения инвариантно определяется короткая точная последовательность
0 —»¦ Z^ —>- Zv' Нп_р (F) (= Z^) — 0.
Аналогичным образом для ростка /':(С", 0)—> (С*-1, 0) определена короткая точная последовательность
0 —* Zv*—>-Zv' Zw.—* 0 и далее—короткие точные последовательности 0 —* Z^ Zv' —+Z»* —0,
0 —* Z^-P-' —> Zv»~P- '* Z^-P-' О, 0 —* Zv»-.P-» Zlln-P-1 —> 0.
Все вместе они дают длинную точную последовательность (резольвенту)
О-+Z^-P-*-+Zvn-p-'-^. .
состоящую из свободных абелевых групп. Здесь Vi—количество критических точек (считая с их кратностями) функции fp_i на неособом многообразии уровня ростка отображения (Ji, ..., формы пересечений краевых особенностей
119
(C". 0)-+(0"'-1, 0) (при выборе системы координат общего вида в пространстве (О, О)).
Для ростка отображения, определяющего полное пересечение с изолированной особенностью, может быть определена его матрица пересечений как матрица пересечений исчезающих циклов Ai,..., AVo, определенных выше, а также—соответствующая диаграмма (для п— .— р == 2 mod 4). Напомним, что циклы A1, . . ., Av0 порождают группу Нп-р (F', Z) (п—р)-мерных гомологий неособого Многообразия уровня, но не образуют в ней базиса. Поэтому всегда (кроме тривиального случая, когда полное пересечение, определяемое отображением/' = =(/i» • • ¦, fp-i), является неособым, а потому полное пересечение, определяемое отображением f, изоморфно ростку гиперповерхности) матрица пересечений ростка такого отображения является вырожденной, а количество вершин в соответствующей диаграмме больше числа Милнора особенности.
