Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
Обозначим форму через со. Выделим базис SJ, . .., б° гомологий отмеченного слоя в размерности, равной размерности формы. Распространим базис по непрерывности в соседние слои и~построим многозначное, непрерывно зависящее от точки базы " семейство S1, .. ., Sii базисов гомологий слоев расслоения. Базис SJ, . .., 6Ц, определяет координаты в когомологиях отмеченного слоя. В этих координатах отображение периодов имеет вид
где Я—точка базы расслоения.
Отображение периодов позволяет переносить на базу расслоения структуры, имеющиеся в пространстве когомологий. Например, индекс пересечения классов когомологий средней размерности в
dim (ker ({f}/)) < dim (ker ((gr {f})')) § 15]
отображение периодов^и форма пересечений
307
когомологиях слоя переходит в билинейную форму на касательном расслоении базы (если сама дифференциальная форма имеет среднюю размерность).
В этом параграфе рассматриваются отображения периодов в расслоении Милнора, связанном с версальной деформацией критической точки функции. В этом случае размерность базы равна размерности средних когомологий слоя. Оказывается, что для почти всех дифференциальных форм отображение периодов невырождено и в естественном смысле не зависит от дифференциальной формы, его определяющей: Это означает, что конструкции, связанные с отображением периодов, определяются расслоением и, в конечном счете, критической точкой.
В параграфе рассматривается билинейная форма, возникающая на базе расслоения (т. е. на дополнении к дискриминанту) из индекса пересечения. Доказывается, что при некоторых условиях билинейная форма аналитически продолжается на всю базу версальной деформации.
В ряде случаев эта билинейная форма является симплектической структурой. Оказывается, страты базы версальной деформации имеют в этой симплектической структуре особые лагранжевы свойства, отражающие типы распадений критической точки на более простые. Некоторые из стратов доставляют важные примеры лагранжевых многообразий с особенностями.
15.1. Конструкции.
А. Определения. Пусть f: (Сга, 0)—»(С, 0)—росток голоморфной функции в критической точке кратности р. Определим расслоение, в котором будем изучать отображения периодов. Это расслоение является расслоением гиперповерхностей нулевых уровней функций, составляющих минимальную версальную деформацию ростка.
А именно, зафиксируем представителя версальной деформации ростка f в виде
F (X, X) = / (X) + К + х2ф2 (X) + ... + Vpia (*),
где функции Cp1 = I1 ф2, . .., Cp11 порождают базис над С локальной алгебры С \x\/(df/dx). Выберем достаточно малый шар B = = С" 11 XI < р}. В зависимости от р выберем достаточно малый шар A = \Х ? Cia [ IXI < б}. Обозначим через 2 гиперповерхность всех тех AgA, для которых локальное множество нулевого уровня Xk = {х g ВIF (х, Я) = 0} особо. Гиперповерхность 2 называется дискриминантом.
Над дополнением А\2 к дискриминанту многообразия {Хл} образуют локально тривиальное расслоение.
Замечание. Это расслоение отличается от расслоения Милнора деформации F (см. п. 10.3). Чтобы получить это расслоение из расслоения Милнора деформации F, нужно ограничить расслоение Милнора на множество нулевых значений деформации F.
11* 308 интегралы голоморфных форм. по исчезающим. ЦИКЛАМ [гл. iil
Расслоение над А\Е будем называть центральным расслоением Милнора.
Обозначим через Q^ пространство голоморфных р-форм на Bx А. Рассмотрим произвольную (п—1)-форму tagQ"-1. Ее ограничение на произвольный слой центрального расслоения Милнора — замкнутая форма. Отображением периодов формы со назовем сечение
Pa: к^[<й\Хх]?Н»-ЧХь, С)
расслоения (п—1)-мерных когомологий, ассоциированного с центральным расслоением Милнора (более коротко: центрального когомологического расслоения Милнора). Для каждого целого k^O назовем k-м присоединенным отображением периодов формы со сечение
РІ = (Vo,ox,)* Pa
того же расслоения (здесь Vezoxl—дифференцирование в связности Гаусса—Манина вдоль векторного поля д/дХх\ напомним, что X1— свободный член версальной деформации).
Замечание. Пусть S1(A), ..., Sii(A)—базис в Нп_±(Хх, Z), непрерывно зависящий от X. В этом базисе
Назовем отображение Р% невырожденным, если векторы Vi(X) = = (Vofoxi Р%) 1?, і = 1, • • •, щ линейно независимы для всех X ? AX4E1 достаточно близких к началу координат в А (т. е. если отображение Рщ, записанное в координатах в ковариантно постоянном базисе, задает многозначное отображение в С' с якобианом, отличным от нуля для всех X ? Л\2, достаточно близких к началу координат);
инфинитезимально невырожденным (инф. невырожденным), если на оси X1, проходящей через начало координат в А, определитель матрицы, составленной из координат векторов {у,-} в ковариантно постоянном базисе, имеет при X1 —^O нуль порядка ц (п—2k—2)/2.
Замечание. Координаты векторов -JuJ в ковариантно постоянном базисе многозначны, однако квадрат определителя матрицы, составленной из координат,— однозначная голоморфная функция в Л\2, мероморфная в Л (см. теорему 12.2).
Можно показать, что свойство отображения Pa быть инф. невырожденным определяется конечной струей формы со в точке OxOg BxA (см. формулы (3), (4) на стр. 209 и лемму 12.3).
