Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
В. Форма пересечений в кокасательном расслоении. Каждому невырожденному отображению периодов Р% отвечает естественный изоморфизм расслоений
и двойственный ему изоморфизм
Ля-1 — 7-(Л\2).
Здесь Tis и Т*—соответственно касательное и кокасательное расслоение, Нп_1 и Hn'1—соответственно гомологическое и когомологическое центральные расслоения Милнора. § 15] отображение периодов и форма пересечений
311
Замечание. Здесь и далее подразумевается, что изоморфизмы определены лишь над окрестностью начала координат в Л (см. определение невырожденности).
В слоях гомологического расслоения имеется билинейное спаривание—индекс пересечения циклов средней размерности в Xk. Таким образом, невырожденное отображение периодов определяет форму пересечений Фщ на кокасательном расслоении Т* (Л\2).
Теорема 4 (см. [27]). Форма Ф„ голоморфна в А\2. Если Р%> инф. невырождено и k ^ [(п —1)/2], то форма голоморфно продолжается на Т*А.
Доказательство. Первое утверждение теоремы очевидно, поскольку форма Ф?, индуцируется из постоянной формы голоморфным отображением. Второе утверждение достаточно проверить около неособых точек дискриминанта. Около таких точек матрица Якоби k-ro присоединенного отображения периодов явно выписывается с помощью формул леммы 12.2. Форма индуцируется из постоянной формы с помощью матрицы, обратной к сопряженной с матрицей Якоби. Поэтому теорема справедлива, если разложения в ряды (аналогичные рядам, указанным в лемме 12.2) координат обратной матрицы содержат только неотрицательные степени параметров. Непосредственно проверяется, что при указанных k это так; см. [27].
Теорема 5 (см. [27]). Форма пересечений отвечающая инф. невырожденному Р%, устойчива, т. е. формы пересечений Ф^ для всех форм г), близких к со, переходят в Ф?> при подходящем голоморфном диффеоморфизме пары Л, 2 в себя. Если f—квазиоднородный росток, то форма Ф?>, отвечающая инф. невырожденному Pa, определена инвариантно с точностью до диффеоморфизма пары Л, 2 в себя.
Теорема 5—прямое следствие теоремы 3.
Г. Ядерное отображение. Выясним, какой объект в касательном расслоении Г» (Л\2) индуцируется невырожденным присоединенным отображением периодов из формы пересечений в исчезающих гомологиях.
Пусть Я ? Л\2. Форма пересечений 5 в Нп_х (Хх, С) определяет линейное отображение
я: Нп_х (Хх, С) Hn'1 (Хх, С).
Ядро отображения я совпадает с ядром формы 5. На образе Im этого отображения корректно определена невырожденная билинейная форма 5*:
S*(a, ?) = S(n~4a), я-M?)).
Пусть Pfa—невырожденное присоединенное отображение периодов. Изоморфизм dP^: Tsh (Л\2) —>- Я"-1 индуцирует в касательном расслоении к Л\2 распределение Im^: Ян-> ІШщ (Я), где Im^ (Я)с сгГ*,я(Я\2) — подпространство, изоморфное подпространству 312 интегралы голоморфных форм. по исчезающим. циклам [гл. iil
Im (А) cz Нп~х (Хх, С). Коразмерность этого распределения равна размерности ядра формы пересечений в Нп_1(Хк, С).
На плоскостях распределения Im^ корректно определена невырожденная билинейная форма пересечений "4?, индуцированная из формы S*.
Оказывается, что распределение Im^ интегрируется, и, более того, его интегральные многообразия являются слоями голоморфного отображения А\2 в комплексное векторное пространство. Это отображение дается следующей геометрической конструкцией.
Рассмотрим конечномерное комплексное векторное пространство Ker всех однозначных ковариантно постоянных сечений центрального гомологического расслоения Милнора. Нетрудно убедиться, что произвольное сечение из Ker может быть получено следующим образом. Нужно выделить в слое центрального гомологического расслоения Милнора подходящий класс гомологий, принадлежащий ядру формы пересечений, и распространить его до ковариантно постоянного сечения, В частности, размерность пространства Ker равна размерности ядра формы пересечений в слоях гомологического расслоения.
С пространством Ker свяжем комплексное векторное пространство функций -(/IvJvgKer на Л\2, где функция Hy определена формулой
= J со.
Vtt)
Определим голоморфное отображение Kka: Л\2 —>- Ker*, где Ker*—пространство, сопряженное с Ker. Для AgAXvS положим значение К% (Я) равным линейной функции на Ker, которая на векторе у g Ker равна /г7(А). Отображение Ka назовем ядерным отображением, ассоциированным с формой со.
Замечание. Предложим эквивалентную конструкцию ядерного отображения. В центральном когомологическом расслоении Н"~1 имеется подрасслоение Im, слоями которого являются подпространства {Im(A)f. Это подрасслоение инвариантно относительно связности Гаусса—Манина. Поэтому связность Гаусса—Манина определена на фактор-расслоении Hn-1Jlm. Нетрудно убедиться, что монодромия связности на фактор-расслоением тривиальна. Отображение периодов Pa—это сечение расслоения Я"-1. Сечение Pa индуцирует сечение фактор-расслоения. Перенося значения сечения фактор-расслоения в отмеченный слой фактор-расслоения, получим отображение базы AXvS в пространство ковариантно постоянных сечений расслоения Я"-1/Im. Это и есть ядерное отображение.
