Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
Для фиксированного п число An (d) имеет вид and" + (члены меньшей степени по d). Нетрудно показать, что ап^\/Г6/пп при
П -a-OO.
і ,!Оценки с н из у. С. В. Чмутов предложил метод, который дает, по-видимому, наилучшую оценку снизу числа eJJn (d) при 294 интегралы голоморфных форм. по исчезающим. циклам [гл. iil
больших d. Чмутов в качестве гиперповерхности с большим числом особых точек предложил рассматривать гиперповерхность
п
с аффинным уравнением 2 Td (х) = О, если я четно, и
/=і
я
2 Td(x,) = \, если я нечетно, где Td—многочлен Чебышева сте-/= і
пени d, имеющий два критических значения ±1. Число Cn(d) особых точек гиперповерхности Чмутова имеет вид cnd"-{- (члены меньшей степени по d). Например, C3 = 3/8. При я—*-оо
Cn-VWwi).
В. Вещественные особенности. Обсудим приложения смешанной структуры Ходжа в исчезающих когомологиях к оценкам вещественных характеристик вещественных функций. Такие приложения связаны с исследованиями в алгебраической геометрии топологии вещественных алгебраических многообразий.
Рассмотрим неособую вещественную алгебраическую кривую степени т, лежащую на вещественной проективной плоскости. Компоненты связности кривой (одномерные многообразия, диффе-оморфные окружности) называются овалами. Вопрос о взаимном расположении овалов вещественной алгебраической кривой — один из классических вопросов геометрии (см. 16-ю проблему Гильберта).
Плоские кривые второй степени были изучены еще в Древней Греции, кривые третьей и четвертой степеней — Декартом и Ньютоном. Изучение топологии кривых более высокой степени оказалось значительно более трудной задачей: топология неособых кривых 6-й степени была полностью исследована лишь к 1969 г., а все возможные расположения овалов кривой 8-й степени не известны и сегодня (см. [9, 49, 35]).
Наряду с описаниями расположений овалов кривых малых степеней известны общие утверждения о том, в каких диапазонах могут изменяться различные числовые характеристики алгебраических кривых данной степени (см. [9]). Утверждением такого рода является формулируемое ниже неравенство И. Г. Петровского. Мы обсудим его обобщения.
Каждый овал кривой четной степени делит проективную плоскость на две части, одна из которых диффеоморфна кругу и называется внутренностью овала, другая диффеоморфна листу Мёбиуса. Овал называется положительным (или четным), если он лежит внутри четного числа других, и отрицательным (или нечетным), если он лежит внутри нечетного числа овалов. Обозначения: р — число положительных, k — число отрицательных овалов.
В 1938 г. И. Г. Петровский доказал [196] для кривых четной степени d=2/ неравенство
I 2 (р—/г) —1 j<3/2—3/4-1; Я 4] смешанная структура ходжа
295
там же приведено обобщение этого неравенства для кривых нечетной степени. В 1949 г. И. Г. Петровский и О. А. Олейник доказали [83] аналогичные неравенства для гладких вещественных алгебраических гиперповерхностей в пространстве любого числа измерений.
А именно, рассмотрим вещественную неособую проективную гиперповерхность /IcrRPn-1 степени d, заданную однородным многочленом / от п переменных. Если d четно, обозначим через В+ и В_ части RРп~х, заданные условиями / ^ 0, / ^ 0, соответственно.
Числом Петровского назовем число целых точек, строго внутри куба (0, d)n лежащих в проходящей через центр куба гиперплоскости, перпендикулярной главной диагонали куба. Обозначение:
П„(<0 = {#* = (*!. K)\0<ks<d, %ks = dn/2}.
Неравенства Петровского—Олейник состоят в следующем:
IX (Л) — 11 ^ П„ (d), если п четно;
I X (-?+)—X (В-) I (d), если я нечетно, a d четно,
где X—эйлерова характеристика. В частности, первое неравенство при п = 4 оценивает эйлерову характеристику алгебраических поверхностей в трехмерном вещественном проективном пространстве, второе неравенство при п = 3 совпадает с неравенством Петровского.
В. И. Арнольдом предложена следующая единая форма неравенств Петровского—Олейник.
Теорема 8 (см, [7]). Число, столице в левой части неравенства Петровского—Олейник, как и в случае четного, так и в случае нечетного числа переменных п, равно |ind], где ind—индекс особой точки OgR" градиента в IRn многочлена /, задающего рассматриваемую гиперповерхность.
Теорема 9 (см. [7]). Число, столице в правой части неравенства Петровского—Олейник, для гиперповерхности, заданной однородным многочленом /, равно числу Ходжа п'2 смешанной структуры Ходжа в когомологиях, исчезающих в критической точке OgC" многочлена f (рассматриваемого как функция на С"), если число переменных п четно, и равно числу Ходжа ^<л+і>/2, т+«/а смешанной структуры Ходжа в когомологиях, исчезающих в критической точке OgC+1 многочлена / (х) + у2, если число переменных п многочлена f нечетно, а степень d многочлена f четна.
Таким образом, неравенства Петровского — Олейник приобретают единый вид: модуль индекса особой точки в R" градиента многочлена с вещественными коэффициентами оцениваете? сверху через соответствующее число Ходжа смешанной структуры Ходжа в когомологиях, исчезающих в критической точке многочлена, рас-ематриваемого как функция на комплексном пространстве. 296 интегралы голоморфных форм. по исчезающим. циклам [гл. iil
