Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
Определение. Точка t=0 называется особой точкой системы уравнений (15), если хотя бы одна из координат матрицы А не продолжается голоморфно в точку t=0. Особая точка системы уравнений (15) называется регулярной, если система обладает свойствами 1, 2, указанными в теореме 6.
Уравнение Пикара — Фукса тривиализации имеет в точке t=0 регулярную особую точку или неособую точку согласно теореме
Замечание. Точка t= 0 является неособой точкой уравнения Пикара — Фукса тривиализации тогда и только тогда, когда критическая точка 0 функции / невырождена, число переменных функции равно двум, тривиализация является базисной. (Доказательство легко выводится из теоремы 10.8 и теоремы 4.6.)
Идея доказательства теоремы 6. 1=ф2. Пусть M— преобразование монодромии решений, порожденное обходом вокруг / = 0 «против часовой стрелки». Пусть InM—одно из возможных значений логарифма матрицы М. Пусть В—матрица фундаментальной системы решений уравнения (15). Тогда P = B ехр (—In t X ХІпМ/2яі)—матрица мероморфных функций. Замена I = PI' приводит уравнение к виду
^= Al, /(f) Є О
(15)
10.7.
dt
In Mj 2 nit
(16)
Замечания. I. ехр (—Inf ІпМ/(2лі))—матрица фундаментальной системы решений уравнения (16). Поэтому решения урав- 248 ИНТЕГРАЛЫ ГОЛОМОРФНЫХ ФОРМ. по исчезающим. циклам [гл. iil
нения (15) разлагаются в ряды вида 2 a^ ^a On Ofc (при наличии свойства, указанного в п. 1 теоремы); ср. с доказательством теоремы 10.2.
2. Произвольная система уравнений (15) заменой переменных I = PI' приводится к виду (16). Однако P не всегда будет ме-роморфной матрицей.
2=^>1. Поскольку А имеет полюс первого порядка, d^
<^-tIl В||, где r = \t\. Поэтому ||?||< ?0r-const. Подробнее см. в [97].
12.3. Связность Гаусса — Манина. В этом пункте обсуждается геометрическая интерпретация систем дифференциальных уравнений, которым удовлетворяют интегралы голоморфных форм по классам непрерывных семейств целочисленных исчезающих гомологий.
С произвольным локально тривиальным расслоением я ассоциировано комплексное векторное расслоение ^-мерных (ко)гомоло-гий его слоев. В этом векторном расслоении определена естественная операция переноса слоев над кривыми в базе (поскольку (ко)го-мологии близких слоев исходного расслоения канонически изоморфны). Операция переноса называется связностью Гаусса — Манина в расслоении (ко)гомологий.
Многозначным ковариантно постоянным сечением расслоения (ко)гомологий называется многозначное сечение (т. е. сечение расслоения (ко)гомологий, поднятого на универсальную накрывающую базы), значения которого инварианты относительно операции переноса. Ковариантно постоянные сечения составляют первый важный класс сечений расслоения (ко)гомологий.
Предположим теперь, что расслоение я — комплексно-аналити-ческое. Рассмотрим на пространстве расслоения голоморфную дифференциальную &-форму, ограничения которой на слои замкнуты. Форма определяет (однозначное) сечение расслоения ^-мерных кого-мологий: точке базы относится класс когомологий ограничения формы на слой, лежащий над точкой. Полученные таким геометрическим образом сечения образуют второй важный класс сечений расслоения когомологий (класс геометрических сечений, точное определение см. в п. 12.3.Б). Расслоения /е-мерных гомологий и /г-мерных когомологий естественным образом сопряжены. Имея ковариантно постоянное сечение расслоения ^-мерных гомологий и геометрическое сечение расслоения ^-мерных когомологий и вычисляя поточечно значения одного сечения на значениях другого, получим многозначную функцию на базе. Значения этой функции —¦ не что иное, как интегралы формы, задающей геометрическое сечение, по циклам, представляющим в слоях гомологии, являющиеся значениями конагттантпо постоянного сечения. Такие функции на базе расслоения Милнора рассматривались в § 10. § 12] интегралы и" дифференциальные уравнения
249
Предположим, что задан базис геометрических сечений и известно, как переносить когомологии в координатах, задаваемых этим базисом. Предположим, что мы хотим найти координаты ковариантно постоянных сечений. Тогда для их нахождения необходимо решить систему дифференциальных уравнений первого порядка. Эта система дифференциальных уравнений для случая расслоения Милнора критической точки сопряжена с уравнением Пикара — Фукса тривиализации, задаваемой набором форм, определяющих базис геометрических сечений (см. п. 12.2). Теперь обсудим эти факты подробнее.
А. Расслоение (к о) гомологий, ассоциированное с локально тривиальным расслоением. Пусть я: X—>- В—локально тривиальное расслоение (не обязательно векторное). Для любого /г 0 определим комплексные векторные расслоения /г-мерных гомологий и k-мерных когомологии слоев
расслоения я. Положим Hk = U Нк(Хь, С). Обозначим через я*
ье. в
естественную проекцию Hk —г- В.
Пусть UczB—стягиваемое открытое подмножество. Тогда я-1 (U) гомеоморфно прямому произведению слоя и множества U. Естественное вложение произвольного слоя над U в я-1 (U) индуцирует изоморфизм (ко)гомологий. Таким образом, определены тривиализации проекции я,, над открытыми стягиваемыми подмножествами базы В. Построенные тривиализации определяют на я^: Hk —> В структуру комплексного векторного расслоения. Это расслоение называется расслоением k-мерных гомологий, ассоциированным с я.
