Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
Другим способом это можно представить себе так. Голоморфной форме соответствует (однозначное) геометрическое сечение когомологического расслоения Милнора. Выберем в когомологическом расслоении ковариантно постоянный репер и разложим геометрическое сечение поэтому реперу. Коэффициенты разложения суть многозначные функции. Нетрудно убедиться, что коэффициенты разложения имеют вид ^bkt аР(In t)k. Перегруппировав слагаемые, получим разложение геометрического сечения в ряд по степеням и логарифмам параметра с коэффициентами, являющимися ковариантно постоянными сечениями. Чтобы определить интегралы формы по классам гомологий ковариантно постоянного семейства гомологий, 254 ИНТЕГРАЛЫ ГОЛОМОРФНЫХ ФОРМ. ПО ИСЧЕЗАЮЩИМ. ЦИКЛАМ [ГЛ. IIl
достаточно определить числа, равкые значениям коэффициентов ряда на данном ковариантно постоянном сечении гомологического расслоения Милнора.
Итак, геометрическое сечение разлагается в ряд
s [со]= 2 t*{lnty AttJk\, (1)
k, CS
здесь со—форма, Л? а—ковариантно постоянные сечения. Коэффициенты Afta полностью определяют когомологические свойства форм со/df, заданных на слоях расслоения Милнора. Более того, совокупность коэффициентов всех форм содержит информацию о критической точке.
В п. 13.1 доказываются основные свойства коэффициентов:
1. Afa (t) = (—1пМа/2ш')А Л? а (і), где Ma-унипотентная часть оператора классической монодромии M в когомологиях.
2. Сечение AfiS принадлежит корневому подпространству оператора М, отвечающему собственному числу ехр (—2nia).
3. Каждое сечение Ag1ta голоморфно зависит от формы со (точнее, от ее конечной струи в исходной критической точке).
Далее определяется главная часть формы (геометрического сечения) как сумма слагаемых ряда (1) с фиксированным а, наименьшим из встречающихся в ряде. Это наименьшее а называется порядком формы. Формулируются утверждения о вычислении порядка формы.
П. 13.2 — основной. В пункте из главных частей всех форм строится убывающая фильтрация *) в слоях когомологического расслоения Милнора. Эта фильтрация называется ходжевой. Далее по жордановой структуре оператора монодромии строится возрастающая фильтрация в слоях когомологического расслоения Милнора. Она называется весовой. Подпространства фильтраций в разных слоях согласованы: они образуют голоморфные подрасслоения когомологического расслоения Милнора. В п. 13.2 сформулирована теорема о смешанной структуре Ходжа: весовая и ходжева фильтрации образуют смешанную структуру Ходжа в слоях когомологического расслоения Милнора изолированной критической точки. Обсуждению этой теоремы посвящен § 14.
В п. 13.3 определены численные характеристики весовой и ходжевой фильтраций — спектральные пары критической точки. Спектральные пары — это неупорядоченный набор из р, пар чисел, где р. — кратность критической точки. Первое из чисел пары — рациональное число, второе — целое число. Неупорядоченный набор первых чисел пар называется спектром критической точки. Числа спектра — это деленные на 2лі логарифмы собственных чисел оператора монодромии. Выбор ветви логарифма определяется с помощью
*) Фильтрация линейного пространства—это упорядоченная последовательность его линейных подпространств. §13] коэффициенты разложений в ряд интегралов 272
главных частей голоморфных форм. Вторые числа в спектральных парах — это правильным образом перенормированные жордановы уровни элементов жорданова базиса. Спектр критической точки обладает замечательными свойствами:
1. Сумма всех спектральных чисел равна р(/х/2—1), где р. — кратность критической точки, п — число переменных.
2. Спектр симметричен относительно точки пі2—1.
3. Спектр невырожденной критической точки состоит из одного числа л/2—1. Если спектр сосредоточен в точке л/2—1, т. е. состоит из нескольких чисел п!2—1, то критическая точка невырождена.
4. Спектр не меняется при деформациях критической точки, не меняющих ее кратности.
5. Если {af}, і=1, ..., р.,— спектр критической точки ростка
f: (С", 0)—0), {?yj-, /= 1....."П,— спектр критической точки
ростка g: (С1, 0) —* (С, 0), то {а, + ?, + 1}, і = 1, . . ., р, / = 1, . . . . . ., ті,—спектр критической точки ростка f + g: (СихСг, 0x0) —* (С, 0).
Эти, а также другие свойства спектра обсуждаются в п. 13.3 и в § 14.
13.1. Коэффициенты разложений в ряд.
А. Коэффициенты и оператор монодромии. Рассмотрим росток f: (С, 0)—0) голоморфной функции, имеющий критическую точку конечной кратности. Рассмотрим его специализацию /: X—>-S и соответствующее расслоение Милнора /: X'—^S' (см. стр. 210). Если со—голоморфная дифференциальная п-форма на X и б — ковариантно постоянное сечение гомологического расслоения Милнора, то
J a/df = Safc, (In/)*/?!, (2)
6(0 k-a
согласно теореме 10.8. В этой формуле коэффициенты l/k\ введены для упрощения дальнейших формул. В ряде (2) числа k, а не зависят от формы и сечения и определяются только оператором монодромии расслоения Милнора. Для фиксированной формы и фиксированных k, а коэффициент aki а определяет ковариантно постоянное многозначное сечение а когомологического расслоения Милнора формулой <Л?а(/), б (/)> = aftj a (со, б). По определению
