Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
Теперь теорема 2 следует из леммы 2.
Лемма 2. Пусть (а—голоморфная дифференциальная п-форма, заданная в окрестности начала координат в С"хСй, содержащей пространство X. Если п нечетно, то в окуестности точки s0 ? 2 справедливы разложения
J (?>ldxF = (и—и (г/))'!/2~1 P1 (и, у), (1)
<5,(«,»
5 соIdxF = Pjiu, у), / = 2, ...,ц, (2)
6 j(u, у)
где P1, ..., P11—функции, голоморфные в точке S0. Если п четно, то в окрестности точки s0 ? 2 справедливы разложение (1), разложение (2) при j = 3, . .., ц, а также разложение
j ®>!dxF= ± (и—и (у))п/2~1 У) + РЛ". У)> (3)
OJ (II. У)
где P1, ..., Pu,—функции, голоморфные в точке s0.
Д о к аз а те л ь с тв о леммы. Ограничение формы со на подпространство вида €nXу замкнуто. По лемме Пуанкаре в окрест- 234 интегралы голоморфных форм. по исчезающим. циклам [гл. iil
ности начала координат в С" X €й существует голоморфная (п—1)-форма ч|э, ограничение дифференциала которой на любое подпространство вида С"ху совпадает с ограничением формы«». Согласно формуле (3) на стр. 209
S WjdxF = ^ J (4)
6j(u ,у) 6J (и, у)
Если цикл б j инвариантен относительно М, то в окрестности точки S0 интеграл формы г|з по б-(и, у) однозначен и голоморфно зависит от (и, y)?S\2. Согласно теореме 10.7 этот интеграл имеет конечный предел при и—J- и (у) по прямой у = const. Следовательно, в окрестности точки S0 он голоморфно продолжается на 2. Следовательно, голоморфно продолжается на 2 и его производная (4). Лемма доказана при /==3, 4, ..., р. и j = 2 при п нечетном.
В окрестности невырожденной критической точки с критическим значением и (у) функция F (•, у) голоморфной заменой переменных X = X (z, у) приводится К ВИДУ Zi+ ... -\-z\-\-u (у). В этих координатах, воспользовавшись вычислениями примера в пункте 10.3.Г на стр. 216, получим
J * = («—« (у))** Q (и, у), (5)
6і(и.гУ)
где Q—голоморфная функция. Это согласно (4) доказывает лемму, при j = 1.
Из формул Пикара—Лефшеца при п четном следует, что
J ^Чь'П("7я"(У)) J * + *<«.*). (6)
6г (и. У) бі (и, у)
где P—однозначная функция в окрестности точки S0 (± выбираются в зависимости от четности числа п/2). Аналогично предыдущему, P голоморфно продолжается на 2. Следовательно, лемма справедлива при j = 2 и л четном. Лемма 2 и теорема 2 доказаны.
Следствие 1 теоремы 2. Пусть 0?, ...,(Otl—голоморфные дифференциальные п-формы на X. Предположим, что ограничение функции
det2: Sb-^det2TJ (оJdxFX j, I = 1, ..., ц,
Ws) J
на прямую у = 0 имеет в начале координат нуль порядка \i(n—2). Тогда функция det* может быть представлена в виде det2 = ghn~2, где g—голоморфная функция на S, отличная от нуля в точке § 12] интегралы и" дифференциальные уравнения
235
S = O, h—голоморфная функция па S, нули которой задают дискриминант (без кратностей). Более того, в этом случае формы (OjdxF, ..., соJdxF порождают базисы (п—I)-мерных когомоло-гий во всех слоях расслоения Милнора версальной деформации, лежащих над точками базы, достаточно близкими к началу координат s = 0.
Действительно, кратность пересечения прямой у = 0 и дискриминанта в точке s = 0 равна ja. Поэтому ограничение произвольной функции, задающей дискриминант без кратностей, на прямую у = 0 имеет в начале координат нуль порядка р. Согласно теореме 2 частное функции det2 и (п — 2)-й степени функции, задающей дискриминант, обратимо в начале координат на 5. Второе утверждение следствия очевидно.
Замечание. Существование набора форм (O1, ..., сой, для которого ограничение функции det2 на прямую у = Q имеет в начале координат нуль порядка р (п—2), доказано в п. 12.1.Д.
Следствие 2 теоремы 2. Пусть (O1, ..., сой, со—голоморфные дифференциальные п-формы на X. Предположим, что ограничение функции
det2: s ^clet2 f J OilZdxF), і, 1=1, ...,р,
V6/s>
на прямую у = Q имеет в начале координат нуль порядка р(п—2).
Тогда в окрестности начала координат на S существуют и единственны голоморфные функции pt, ..., Pll, обладающие свойством:
f <*/dxF = Jlpj(s) J (ojfdxF
б (S) ' б (S)
для любого непрерывного семейства б целочисленных (п—^-мерных гомологий в слоях расслоения Милнора версальной деформации.
См. доказательство следствия 2 теоремы 1.
Б. Каждый коэффициент разложения в ряд интеграла формы по классам семейства исчез а*ю щ и х гомологий зависит только от конечной струи формы и зависит от этой струи голоморф но. Точнее справедлива следующая лемма.
Пусть /: (С", 0) —і-(С, 0)—функция, голоморфная в начале координат и имеющая в начале координат конечнократную критическую точку. Пусть (o = gdx1A ••• Adxn—дифференциальная п-форма, голоморфная в начале координат. Пусть S (?) ? Є (Xt, 2,) — непрерывно зависящий от параметра класс гомо- 236 интегралы голоморфных форм по исчезающим циклам [гл. ш
логий слоя Xt расслоения Милнора критической точки 0 функции /. Согласно теореме 10.8 в каждом секторе малой окрестности точки t = 0 имеется разложение в ряд
где числа а зависят только от / и не зависят от со, ё.
Лемма 3. Для любых k, а коэффициент аь,« зависит только от конечной струи функции g в точке 0 ? С и зависит от этой струи голоморфно.
