Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
В. Показатели особости простых критических точек и числа Кокстера. В. И. Арнольдом отмечено следующее явление (см. [3, 4]): показатели осцилляции простых критических точек гладких функций трех переменных даются формулой ?=—1—1/yV, где N — число Кокстера соответствующей группы, порожденной отражениями. Теорема 3 объясняет присутствие в этой формуле числа N. § II]
КОМПЛЕКСНЫЕ ОСЦИЛЛИРУЮЩИЕ ИНТЕГРАЛЫ
227
Утверждение. Осциллирующий интеграл с фазой, зависящей от трех переменных и имеющей простую критическую точку, разлагается в асимптотический ряд ^aata, где а— рациональные числа со знаменателем, равным числу Кокстера соответствующей группы, порожденной отражениями.
Действительно, в этом случае оператор монодромии—преобразование Кокстера соответствующей группы (см. теорему 3.14). Поэтому Mn= Id. По теореме 3 показатели а после умножения на N — целые числа.
11.3. Комплексные осциллирующие интегралы с фазой f(x) + g-(y). Асимптотики интегралов с фазой f-j-g выражаются через асимптотики интегралов с фазами f, g, поскольку экспонента суммы равна произведению экспонент слагаемых. В частности, асимптотики интегралов с фазой ^?1+1+ . .. выражаются через асимптотики интегралов с фазой (которые вычислены в п. 11.1.В). Из этих выражений извлекается нетривиальная информация об асимптотиках интегралов с произвольной фазой, поскольку произвольная изолированная критическая точка встречается в версальной деформации критической точки Jcjf+1 -J- . .. .. .-J-jc#+1 (при достаточно большом р.). В частности, на этом пути можно доказать следующую важную теорему: если заданы критическая точка функции f кратности р., со1т ..., (Ofl—достаточно общий набор голоморфных n-форм, S1 (t), .. ., S11 (t)—непрерывно зависящий от t базис целочисленных гомологий, исчезающих
в критической точке, то функция det2/ J (Oj/dA не равна тож-
• Vе/ «> J
дественно нулю в окрестности точки 0 ^ С, и, более того, порядок ее нуля в точке 0 равен р,(п—2) (см. теорему 12.1; ср. с леммой 4).
А. Теорема Фубини для осциллирующих интегралов. Пусть f: (С", 0) — (С, 0), g: (Ci, 0) — (С, 0)—функции, голоморфные в началах координат и имеющие в началах координат конечнократные критические точки. Рассмотрим функцию f + g: (Сп+<, 0) — (С,0).
Функция f + g имеет в начале координат конечнократную критическую точку кратности, равной произведению кратностей критических точек функций f, g. Пусть (о—голоморфная п-форма, заданная в окрестности начала координат в С", т)—голоморфная /-форма, заданная в окрестности начала координат в С1. Мы сравним асимптотики трех интегралов ^ех!оз, § e%gy\, J (f+й)о>Ді1. выбирая согласованным образом допустимые цепи интегрирования.
Пусть T1 с: Cn, Га с: C2—допустимые цепи соответственно для критических точек функций /, g. Предположим, что Reflar1 = = Reg1Iars = — а, а/2 > Re/|ri, Regjra^—а для достаточномало-гочисла а> 0 (выполнения этого условия можно добиться, заменяя цепи на эквивалентные). Тогда цепь F1 ><F2 cr C"+l допустима для 228 ИНТЕГРАЛЫ ГОЛОМОРФНЫХ ФОРМ ПО ИСЧЕЗАЮЩИМ ЦИКЛАМ [ГЛ. IIl
критической точки функции f-\~g. Легко видеть, что эта конструкция задает линейное отображение тензорного произведения групп классов эквивалентности цепей, допустимых для критических точек функций f, g, в группу классов эквивалентности цепей, допустимых для критической точки функции f-\-g. Можно показать (см. [215], а также теорему 2.9), что это отображение есть изоморфизм.
Замечание. В [215] приведено топологическое доказательство этого утверждения. Другое доказательство можно получить, используя теорему о детерминанте, сформулированную в начале п. 11.3 (см. п. 13.3.Д, а также следствие 1 леммы 6). Теорема 4 (см. [185])
S ех </+g)co An=S еТ/<0 5 eTSrl-
T1XT2 г, гг
Теорема 4 — прямое следствие теоремы Фубини. Следствие. Асимптотический ряд левого интеграла равен произведению асимптотических рядов интегралов, стоящих в правой части.
В. Интегралы с фазой f = x?+1 + ... + х#+1 (п р и ме р применения теоремы 4). Кратность критической точки функции
_ _ ^ xtf+1 равна ц". Построим р." н-мерных цепей: Гл.../.(К/1, ••¦> in Iх)' допустимых для этой критической точки.
Каждую из цепей T1, ..., Гдс:С, указанных в п. 11.1.В и допустимых для критической точки Xм-+1, заменим на эквивалентную так, чтобы X^+1IdT. = —1, 1/« > Rex^+1— 1. Положим
цепь Г,-...../„сС равной Г, хГ, х ... X Г, . Легко видеть, что
1 J ?
цепь Г/„ ../а допустима для критической ТОЧКИ Xf+1+ . . . + Х#+1.
Обозначим через со,-, где / = (/г, ..., /„), форму [х^-1 .. . .. (Ix1 А • •. A dxn. Обозначим через J множество индексов J = U 1. /„), для которых 1</і, ..., /„<ц.
Лемма 6. 1. Для любых /, /?/
і ^4 = ^+1)--11 ,-8?) Г (J^1)1
[I j]
где гL=—(Z1+.. . .+/„)/(ц + 1); B1, ..., su+t—корни уравнения л+1+1 = —J1 указанные в п. ll.l.B, Г(-)—гамма-функция.
2. det ( J = (Bv)n^n'1
J
где /, I ? J, Bil—отличная от нуля константа, определенная в следствии леммы 4.
Лемма 6 — очевидное следствие теоремы 4 и лемм 3, 4. § '23_ИНТЕГРАЛЫ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 229
