Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
Г Г' Г"
но мал.
Мы будем изучать асимптотическое поведение комплексных осциллирующих интегралов с точностью до слагаемых, малых по сравнению с x~N при любом натуральном N.
Пример. Пусть f (х) = х3, a» = dx. Произвольный допустимый контур эквивалентен линейной комбинации двух контуров T1, Г2, иеображенных на рис. 74. Интегралы по T1 и Г2 сопряжены.
і ®
$ exx'dx = (l— е+зяї/з) J f>—xx* dx = (.. От-1/? J е-dx+ o(x~N). г, о о
Уточним понятия допустимых и эквивалентных контуров.
X
А. Уточнение определений. Предположим, что функция /: (С", 0) —> (С, 0) голоморфна в начале координат и имеет в начале координат конечнократную критическую точку. Рассмотрим пару положительных чисел р, т). Обозначим через 5 диск \t ? С1) 111 < т]}, через S-—его левую половину: Re ?<()}.
Обозначим через X множество {х ? Cn | / (х) (= S, || х\\ < р}, через Х~—множество X П/-1 (S-), через Xt—множество X Л (см. 220 ИНТЕГРАЛЫ ГОЛОМОРФНЫХ ФОРМ ПО ИСЧЕЗАЮЩИМ ЦИКЛАМ [ГЛ. IIl
рис. 75). Будем предполагать, что пара чисел р, г| допустима для критической точки (см. п. 10.3.А).
л-мерную цепь ГсС" назовем допустимой, если ГсХ, dTczX~. Допустимые цепи Г, Г' назовем эквивалентными, если существует (п + 1)-мерная цепь VczX со свойством: (Г—Г'-]-dV)czX~. Классы эквивалентности допустимых цепей относительно операций сложения и умножения на числа образуют векторное пространство, по определению совпадающее с Hn (X, Х~).
Б. Разложение в ряд. С каждым элементом [Г] ? ?На(Х, Х~) свяжем семейство (п—1)-мерных классов приведенных гомологий в слоях расслоения Милнора, лежащих над S~. Для этого рассмотрим точную последовательность ...—Hn(X)—>
— Нп{Х, X-)-L Hn^iX-)-+ Я„-х(Х)—... Числа р, л допусти-
мы. Поэтому X стягиваемо и д—изоморфизм группы Hn (X, X-) и группы приведенных (п—1)-мерных гомологий пространства X-.
Ограничение отображения / на X' =Х \ X0—гладкое локально тривиальное расслоение (расслоение Милнора критической точки). В частности, /: X-—>-<S-—тривиальное расслоение. Поэтому гомологии множества Х~ изоморфны гомологиям произвольного слоя надТаким образом определен изоморфизм dt: Нп(Х, Х~)—* —> Нп_х (Xt) для любого t?S~, где Hn_x(Xt)—это группа приведенных гомологий. Если Г—допустимая цепь, представляющая элемент [Г] € Я, (X, Х~), то, взяв границу цепи Г и стянув ее в множестве X- в слой Xu получим цикл, представляющий элемент dt [Г] ? Hn(Xt). Семейство классов dt [Г] непрерывно зависит от t ? S~.
В примере на стр. 219 слой Xt расслоения Милнора состоит из корней уравнения x3==t. Элементу [I\] ? /Z1 (X, Х~) отвечает семейство нульмерных гомологий ^tJT1]. Класс dt [T1] представляет цикл х°—Xі, где X0—нижняя точка слоя, х—левая (см. рис. 74).
Лемма 2. Пусть ю— голоморфная дифференциальная п-форма на X, [Г]€#Й(Х, X-). Тогда
Здесь t0 — малое положительное число, принадлежащее 5; в правой части стоит интеграл по отрезку вещественной оси-, знак « означает, что правая часть отличается от левой на слагаемое o(x~N) при т—, + оо, где N — любое число.
Эта лемма связывает интегралы метода перевала с интегралами голоморфных форм по семействам исчезающих классов гомологий. Интеграл голоморфной формы разлагается в ряд по степеням параметра и степеням логарифма параметра (см. § 10). Формула (1) позволяет интеграл метода перевала разложить в аналогичный ряд.
(1) § II]
КОМПЛЕКСНЫЕ ОСЦИЛЛИРУЮЩИЕ ИНТЕГРАЛЫ
221
Доказательство. Выберем цепь Г, представляющую [Г], так, чтобы дГсХ_(>. Тогда для любой голоморфной (п—1)-формы ф на X
Действительно, по формуле Стокса левый интеграл равен интегралу по дГ формы ф. Цикл дГ представляет [Г]. Рассмотрим функцию J (t) = ^ ф. Она голоморфна на и стремится к нулю при
atm
стремлении параметра к нулю по радиусу (см. теоремы 10.4, 10.7). Следовательно, ее значение в t0 равно интегралу ее производной от 0 до —tQ. По формуле (3) на стр. 209 производная функции J задается интегралом формы dy/df. Формула (2) доказана.
При фиксированном т на X найдется голоморфная (п—1)-формаф со свойством: rf<p = (по лемме Пуанкаре). Теперь формула (2), примененная к ф, дает утверждение леммы.
Замечание. Здесь как и в теореме 10.8 нужна [аккуратность при применении леммы Пуанкаре; см. замечание на стр. 215.
Теорема 1 (см. [185]). Пусть со—голоморфная дифференциальная п-форма на X, [I J ? Hn (X, Х~). Тогда при т—>- + оо интеграл
S ^co (3)
[Г]
разлагается в асимптотический ряд
S аА,ата(1пт)*. /4)
а, ft 4 '
Здесь параметр а пробегает конечное множество арифметических прогрессий, зависящих только от фазы и составленных из отрицательных рациональных чисел. А именно, каждое число а обладает свойством: ехр (—2яіа) — собственное число оператора классической монодромии критической точки фазы. Коэффициент ak, а равен нулю всякий раз, когда у классической монодромии нет жордановых блоков размеров А + 1 и более с собственным числом ехр (—2ш"а).
Доказательство следует из (1). Внутренний интеграл в правой части формулы (1) разлагается на вещественной положительной полуоси в ряд
