Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
з
265
сумму пространств Lf
266
.....I......^tJ I {\i Tl>
Гильбертовы пространства.
4.1 Основные определения.
Мы рассматриваем линейные пространства над полем комплексных чисел (если явно не оговорено другое) и если z Є C1, то символ z* обозначает число, комплексно сопряженное числу z:
V (a Є R1, b Є R1) : z = a + ib , z* = a — ib.
4.1.1 Скалярное произведение и норма.
Скалярное произведение на линейном пространстве L -это функция
< , > : L X L — C1,
которая удовлетворяет следующим аксиомам,
1. Скалярное произведение линейно по второму аргументу:
V (a Є L,b Є L,c є L ,а є C1, ? Є C1), : < c, aa + ?b >= а < c, a > +? < c , b > .
2, Скалярное проиизведение кососимметрично:
V (a Є L , b Є L) : <a,b >=< b , a >* .
3. Скалярное произведение не вырождено:
V(a Є L) : < a , a >> 0 , (< a , a >= 0) -<=>- (a = 0).
Определение 4.1.1. Линейное пространство вместе с определенным на нем скалярным произведеним называется унитарным пространством,
267
Вместо условия линейности скалярного произведения по второму аргументу часто принимают условие линейности скалярного произведения по первому аргументу. Мы будем следовать сложившейся в математической физике традиции,
В прямой сумме унитарных пространств
H = 0 Y H
j
скалярное произведение вводится по формуле
v (a Є H ,b є H): < a,b >= ^ < aj , bj >j , aj є Hj , bj є Hj,
j
< , > j Hj
Теорема 4.1.1. Скалярное произведение на унитарном пространтсве удовлетворяет неравенству
v (а є L,b є L) : | <a,b> | << a , a >1/2< b , b >1/2 . (4.1)
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай
< a , b >= 0.
В неравенстве
v(z є C1) : < za - z-1b , za - z-1b >=
|z|2 < a , a > +|z|-2 < b , b > -2Re (exp(-2i arg(z)) < a , b >) > 0 положим
( <b b> \ 1/4 z = < , > exp(iB) , 9 = (1/2) arg(< a , b >)
Получим (4.1).
Неравенство (4.1) в математической литературе на русском языке на-зывют неравенством Коши-Буняковского. В математической литературе на английском языке это неравенство называют неравенством Коши или неравенством Шварца.
Теорема 4.1.2. На унитарном пространстве функция
L э a —<a,a>1/2є R+ (4.2)
удовлетворяет условиям, нормы.
268
Доказательство. Невырожденность и однородность функции (4.2) очевидны. Докажем неравенство треугольника. Имеем:
! < а + b, а + b >=< а, а> + <b,b> +2Re < а,Ь> < < а, а> + <b,b> +2(< а, а >< b , b >)1/2 = ((<а,а>)1/2 + (<b, b>)1/2)2.
Следовательно,
||а + b|| < ||аМ + \\b\\.
Утверждение доказано.
Определение 4.1.2. Унитарное пространство вместе с определенной на нем нормой
||а|| =< а, а >1/2 (4.3)
называется предгильбертовым пространством.
Вычислением проверяется, что определенная равенством (4.3) норма удовлетворяет равенству параллелогамма:
V(x є H,y є H) : ||x + vw2 + цх - y||2 = 2(||x||2 + ||y||2). (4.4)
В предгильбертовом пространстве неравенство (4.1) может быть записано в виде
| <а^> | < ||а|| • ||b||. (4.5)
В действительном евклидовом пространстве это неравенство означает, что модуль косинуса угла меньше или равен единице.
Скалярное произведение в прямой сумме унитарных пространств порождает норму
||ф]С а||2 = 12 к||2.
jj
Из определения нормы в унитарном пространстве и неравенства Коши-Буняковского вытекает очевидная
Лемма 4.1.1. Справедливо равенство
||х|| = sup{| <y, х > | | ||y|| < 1}. (4.6)
Определение 4.1.3. Гильбертово пространство -это предгильбертово пространство, которое есть банахово пространство (т. е. полное нормированное простанство) относительно нормы (4.3).
269
Пусть Lo -предгильбертово пространство и пусть L -пополнение пространства L0 как банахова пространства. Оператор вложения
J : L0 — L
линеен, и это позволяет задать скалярное произведение на линейном многообразии J(L0) С L, положив по определению
V (a Є L0 , b Є L0) : < J (a) , J (b) >:=< a, b> .
По непрерывности это скалярное произведение можно распространить
LL
лученное гильбертово пространство называется пополнением предгиль-
L0
H
Скалярное произведение в гильбертовом пространстве Ha мы будем обозначать символом < , >а. Рассмотрим примеры.
Пример 4.1.1. Пространство L2(D , ц(dx)). Пусть D С Rd и L2(D , fi(dx)) определено как в 1.1.14 (см. стр. 44). Превратим пространство L2(D , ?(dx)) в гильбертово пространство, положив по определению
V(f Є L2(D , ?(dx)), g Є L2(D , ?(dx))) :
<f,g>= J f *(x)g(x)?(dx). (4.7)
D
Интеграл в (4.7) существует в силу неравенства
|f 4x)g(x)Ktt (x)|2 +
Полнота пространства L2(D , ?(dx)) есть следствие теоремы Рисса-Фишера 1.1.6 (см. стр. 43).
Пример 4.1.2. Пространство I2. Элементами пространства I2 являются такие числовые последовательности
a = {aj | aj Є C1 , 1 < j < то)
что
1<j<oo
Пространство І2 можно рассматривать как частный случай пространства L2(D, ?(dx)) при D = R1, если считать, что носитель меры ?(dx) есть множество целых чисел Z.
270
Структура линейного пространства на I2 задается формулой
aa + вb = {aaj + вbj}.
Скалярное произведение на пространстве I2 задается формулой
< a , b >= a*bj.
i<j<oo
Полнота пространства l2 есть следствие теоремы Рисса-Фишера 1,1,6 (см, стр. 43), так как сумму можно рассматривать как интеграл по мере, носитель которой есть множество целых чисел.
