Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Jh Jo Jo
Из лемм 3.10.4 и 3.10.5 следует
Лемма 3.10.6. Справедливы, утверждения:
V(t > 0) : Im(Mt) С Dom(A) ; Cl(Dom(A)) = B,
V(x Є B) : AMtX = Atx.
Итак, мы доказали, что область определения инфинитезимального оператора полугруппы класса C0 плотна в том пространстве, где действует полугруппа. Теперь докажем лемму
Co
замкнут.
Доказательство. Пусть
xn ф Axn Є Gr(A) , xn ф Axn > {xo , yo}. Нам нужно доказать, что
xo Ф yo Є Gr(A). Из леммы 3.10.3 следует, что справедливо равенство
V(t > 0) : T(t)xn - xn = [ T(т)Axn
o
Переходя в этом равенстве к пределу n оо, мы получаем:
V(t > 0) : T(t)xo - xo = f T(т)yodт.
o
Разделив обе части этого равенства на t и переходя к пределу t — 0, мы получим:
xo Є Dom(A) , Axo = yo.
250
Лемма доказана.
Лемма ЗЛО.8. Пусть T(t) -полугруппа класса Co и константы M, и удовлетворяют оценке (3.254). Тогда полуплоскость Re A > и принадлежит резольвентному множеству инфинитезимального оператора A
Re А > и быть вычислена по формуле
R(A, A)x = exp(-At)T(t)xdt. (3.258)
o
Доказательство. Из оценки (3.254) следует, что интергал в правой части равенства (3.258) сходится. Докажем, что оператор в левой части равенства (3.258) есть резольвента инфинитезимального оператора. Hn-
R( А , A)
равенства (3.258). Имеем:
V(x є Dom(A)) : R(A , A)(Aid - A)x = lim [ exp(-At)T(t)(idA - A)xdt = fa d
- lim — exp(-At)T(t)xdt = x.
a^oo Jo dt
Далее:
o
V(x є B) : AhR(A, A)x = Ah і exp(-At)T(t)xdt =
Jo
exp(Ah) - 1I exp(-At)T(t)xdt - 1 [ exp(-At)T(t)xdt — h Jh hj o
o
Al exp(-At)T (t)xdt - x , h —> 0. o
Следовательно,
V(x є B) : R(A , A)x є Dom(A), (Aid - A)R(A , A)x = x. Лемма доказана.
A
Co
Доказательство. Из тождества Гильберта и леммы 3.10.8 следует, что R(A , A)ra+1x = J exp(-At)T(t)xdt =
1 I exp(-At)tnT (t)xdt.
251
Исползуя оценку (3.254), мы получаем:
V(X > и): ^R(X , A)n+lxH < —ті exp(-Xt + ut)tndt||x|| =
n! Jo
M\X - u|-(n+1)||x||. Лемма доказана.
Мы доказали необходимость условий теоремы Хилле-Филлипса-Иосиды. Переходим к доказательству достаточности этих условий. Ниже мы будем считать, что и < X < то. A
R( X , A)
Лемма 3.10.10. Если выполнены, условия теоремы, Хилле-Филлипса-Иосиды, то
V(x Є B) : XR(X, A)x — x,X — то. (3.259)
Доказательство. Справедливо равенство
V(x Є Dom(A)) : XR(X , A)x - x = R(X , A)Ax.
Поэтому
V(x Є Dom(A)) : HXR(X , A)x - x|| <
M\X - Ul-1HAxH— 0 ,X — то. (3.260)
Dom(A) B
и теоремы Банаха-Штейнгауза 3.3.4 (см. стр. 161) следует утверждение леммы.
Положим
V(X > и) : V(X)x = -X(id - XR(X, A))x.
Лемма 3.10.11. Справедливо утверждение
V(x Є Dom(A)) : || V(X)x - Ax|| — 0 , X — то. (3.261)
Доказательство. Это утверждение следует из леммы 3.10.10 и равенства
V(X)x = XR(X, A)Ax.
Положим
V(X > и): S(X,t) = exp(tV(X)).
252
Лемма 3.10.12. Справедлива оценка:
V(t > 0 , A > u) : ||S (A, t)|| < M exp Доказательство. При A> и справедливо равенство
S(A, t) = exp(-At) Y n {A4)n R(A, A)n.
0<n<oo
Так как резольвента удовлетворяет оценке (3.257), то
||S(A,t)||< exp(-At) Y П (A2t)n ||R(A,A)n||<
0< n< o
Mexp(-At) Y n (A2t)n |A - u|-n =
0< n< o
Mexp f-At + = Mexp (. (3.262) A - и A - и
Лемма доказана.
Лемма 3.10.13. Существут предел,
v(x Є B , t > 0) , 3 T(t): T(t) = lim S(A , t)x. (3.263)
A—oo
Доказательство. Справедливо равенство
V(x Є Dom(A)) : S(A , t)x - S(? , t)x =
/ (-^S(? , t - T)S(A , г)x ) dr = Jo \«T )
t
S (?,t - г )S (A , г )(V (?) - V (A))xdr <
const.||(V(?) - V(A))x|| —> 0 , x Є Dom(A) , A, ? —> оо.
(На последнем этапе мы воспользовались леммой 3.10.11.)
Множество Dom(A) плотно в B, а норма оператора S(A , t) ограниче-A
следует из теоремы Банаха-Штейнгауза 3.3.4. Лемма доказана.
T( t)
лугруппа класса C0 с инфинитезималъным оператором A.
Aut A — и
253
Доказательство. Справедливы равенства V(x Є B , ti Є R1, t2 Є R1) : S(Л , ti)S(Л , t2)x = S(Л , ti + t2)x,
V(x Є Dom(A)) : S(Л , t)x - x = [ S(Л , т)V(X)xd^
o
Л - о
V(x Є B , ti Є R1, t2 Є R1) : T(ti)T(t2)x = T(ti + t2)x,
V(x Є Dom(A)) : T(t)x - x = [ T(т)Axdт. (3.264)
o
t
группа и
V(x Є Dom(A)) : ||T(t)x - x|| — 0 , t — 0.
Опять воспользовавшись теоремой Банаха-Штейнгауза 3.3.4, мы получаем:
V(x Є B) : ||T(t)x - x|| — 0 , t — 0.
Следовательно, T(t) -полугруппа класса Co. Пусть A -инфинитезимальный
T( t)
exp(-Лt) и проинтегрируем по t от 0 до оо. Получим:
V(x Є Dom(A)) : Я(Л , AL)(Лid - A)x = x. (3.265)
В уравнении (3.265) сделаем замену x —> Д(Л , A)x. Получим:
V(x Є Dom(A)) : Я(Л , A)x = Я(Л , A)x. (3.266)
Dom(A) B
Д(Л, Al) = Д(Л, A), Отсюда в силу леммы 3.9.4 следует, что
A = A.
Итак, мы доказали теорему Хилле-Филлипса-Иосиды.
Л—о
ние теоремы Хилле-Филипса-Иосиды:
Лемма 3.10.15. Если M и и -константы, которые входят в оценку
A
T( t)
||T(t)|| < Mexp(ut). (3.267)
254
T( t)
V(t> 0): ||T(t)||< 1. T( t)
случае, если резольвента ее инфинитезимального оператора удовлетворяет оценке
V(A > 0) : ||R(A, A)| < 1/A. (3.268)
Доказательство. Необходимость условия следует из формулы (3.258). Для доказательства достаточности условия (3.268) заметим, что при его выполнении
