Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
(Ker(Aoid - T)) = (Ker(Aoid - T*)),
Im(Aoid - T) = N(Ker(Aoid - T*)).
235
Последнее утверждение есть напоминание теоремы 3.4,8 (см, стр. 181).
Близкое по смыслу утверждение составляет содержание следующей ниже теоремы, которая есть следствие теорем 3.8.5 и 3.7.4 и иногда называется аналитической теоремой Фредгольма.
Теорема 3.8.6. Пусть D -открытая связная область в плоскости комплексного переменного C1. Пусть в облаemu D задана аналитическая функция
D э ? — K(?) Є L(B — B), значения которой есть компактные операторы:
V? : K(?) Є K(B — B).
Тогда либо оператор (id — K(?)) не обратим ни в одной точке области DD
аналитическая функция -(?) и такие аналитические функции D э ? — r(?) Є K(B — B) , D э ? — a(?) Є L(B — B), что справедливо равенство
V(-(?) = 0) : (id — K(?))-1 = -Lr(?) + a(?),
причем
<iim(Im(r(?))) < const. < оо , Im(r(?)) |^| Im(a(?)) = 0.
X=1
только изолированной особой точкой резольвенты R(X, K(?)) и отвечающий этой особой точке спектральный проектор конечномерен, а затем применить теорему 3.7.4 в каждой точке ? Є D.
3.9 Резольвента и спектр неограниченных операторов.
До сих пор все операторы в банаховых пространствах мы считали линейными ограниченными (а потому и непрерывными) операторами, область определения которых совпадает со всем пространством. Теперь мы переходим к изучению более общей ситуации: мы будем рассматривать такие линейные отображения, область опер деления которых есть не совпадающее со всем пространством линейное многообразие, а сами отображения
236
не ограничены на своей области оперделения. Переходим к точным формулировкам.
Пусть B1h B2 -банаховы пространства, Dom(A) C B1 -линейное многообразие (не обязательно замкнутое) в пространстве B1.
Определение 3.9.1. Отображение
A : Dom(A) — B2
мы называем линейным отображением (линейным оператором), если
У(а Є C1 , ? Є C1 ,x Є Dom(A), y є Dom(A)) : A(ax + ?y) = aA(x) + ?A(y).
Если
Dom(Ai) = Dom(A2),
то два оператора
A1 : DoITi(A1) — B2 ,A2 : Dom(A2) — B2
мы будем считать разными операторами, даже если их значения совпа-Dom(A1) Dom(A2). Умножение неограниченного оператора на число коментариев не тре-
е A1 A2
только в том случае, если Dom(Ai) f] Dom(A2) = 0:
Dom(A1 + A2) := Dom(A1) Dom(A2),
(Wx є Dom(Ai + A2)) : (Ai + A2)(x) := Ai(x) + A2(x). Ядро неограниченного оператора определяется так: Ker(A) = {x \ x є Dom(A), A(x) = 0}. Определим резольвенту неограниченного оператора.
Определение 3.9.2. Оператор R(A , A) называется резольвентой оператора , если
1.Dom(R(A , A)) = Im(Aid - A) , Im(R(A , A)) = Dom(Aid - A))
(3.233)
2.Ker(Aid - A) = O , Cl(Im(Aid - A)) = B, (3.234)
3. sup{\\R(A , A)x\\ \ x є Im(Aid - A), \\x\\ < 1} < ж; (3.235)
4.y(x є Im(Aid - A)): (Aid - A)R(A, A)x = x, (3.236)
5.y(x є Dom(Aid - A)): R(A , A)(Aid - A)x = x. (3.237)
237
Это определение согласуется с данными прежде определениями резольвенты элемента банаховой алгебры и резольвенты ограниченного оператора, но с понятием резольвенты неограниченного оператора нужно быть внимательным, В силу условия (3.235) резольвента по непрерывности продолжается на все пространство, но на этом продолжении может не быть выполнено равество (Aid - A)R(A , A)x = x.
Мы примем следующее
Определение 3.9.3. Оператор
R(A, A) Є L(B — B) называется резольвентой неограниченного оператора
A : Dom(A) — B,
если
1.Ker(Aid - A) = O , Im(Aid - A) = B, (3.238)
2. Dom(A) D Im(R(A , A)), (3.239)
3. W(x Є B) : (Aid - A)R(A, A)x = x, (3.240)
4. W(x Є Dom(A)) : R(A , A)(Aid - A)x = x. (3.241)
В рассматриваемых нами приложениях (резольвента инфинитезималь-ного оператора и резольвента самосопряженного оператора) оба определения совпадают. По умолчанию, мы будем пользоваться только вторым определением.
Определение 3.9.4. Резольвентным множеством res(A) неограничен-A
которых существует резольвента:
res(A) := {A \ 3R(A, A)].
Спектром о (A) неограниченного oneратора A называется дополнение резольвентного множества:
o(A) = C(TeS(A)).
Часто бывает полезна следующая
{xn] Є B
что
WxnW = 1 ,Уп = (Aid - A)xn 0, (3.242)
то A Є о (A).
238
Доказательство. Если A є res(A), то существует oneратор R(A, A), и из (3.242) следует, что
xn = R(A, a)y/n , 1 = ||xn|| < ||R(A, a)|| • ||ynN,
что противоречит (3.242). Лемма доказана.
Сформулированный в данной лемме критерий принадлежности точки A спектру оператора A иногда называется критерием (признаком) Вейля, а удовлетворяющая условию (3.242) последовательность -последовательностью Вейля.
R( A , A)
аполитична на своем резольвентном множестве как функция пара-A L(B ь B)
берта:
R(A ,A) - R(u , A) = -(A - ?)R(A , A)R(? , A). (3.243)
A є (A)
уравнение относительно неизвестного оператора R(? ,A) є L(B ь-> B): (id - (A - ?)R(A , A))R(U , A) = R(A , A). (3.244)
При
IA - uI < ||R(A,A)||-1 уравнение (3.244) имеет единственное решение
R(U , A) = ( J ((A - U)R(A , A))M R(A , A), (3.245)
\o<n<oo /
и это решение аналитично по ? в круге
{? IIA - ?I < ||R(A,A)||-1}.
A
Из (3.243) следует, что
Im(R(?, A)) С Dom(A).
