Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
В дальнешем мы будем предполагать, что X -произвольное множество, Lo(X) некоторое множество функций на X со значениями в области действительных чисел:
Lo(X) э f: X э x ^ f (x) Є R1,
2
Io -заданный на Lo(X) функционал:
Io: Lo (X) э J ^ Io (J) Є R1.
Пространство L0(X) мы будем называть пространством элементарных
Io
лом,.
При построении интеграла по схеме Даниэля на область задания ин-
X
ничений,
Lo(X)
дующим требованиям,
Lo(X)
ций:
V(J Є Lo(X)) : sup{|J(x)| | X Є X} < оо.
Lo(X)
ство относительно операций поточечного сложения функции и умножения функций на действительные числа.
Это означает, что для любых двух функций
J(x) Є Lo(X) , g(x) Є Lo(X)
и любых действительных чисел а, в Є R1 функция
h(x) = aJ (x) + eg(x)
Lo(X)
Условие 1.1.3. Если функция J(x) Є Lo(X), mo |J(x)| Є Lo(X). Так как
niax(J(x) , g(x)) = 1(J(x) + g(x) + 1J(x) _ ^)D, min(J(x) , g(x)) = _ niax(-J(x), то при выполнении условия 1,1,2 условие 1,1,3 эквивалентно условию Условие 1.1.4. Если J(x) , g(x) Є Lo(X) то
max(J(x) , g(x)) Є Lo(X) , min(J(x) , g(x)) Є Lo(X).
3
Мы будем предполагать, что элементарный интеграл I0 удовлетворяет следующим требованиям.
Условие 1.1.5. Элементарный интеграл I0 есть линейный функционал, заданный на L0(X):
Io: Lo(X) ^ R1 , Io(af + ?g) = aIo(f) + ?Io(g).
I0
(Vx : f (x) > 0) => (Io(f) > 0).
I0
смысле:
если V(x Є X) : fn+1(x) < fn(x) и V(x Є X) : lim fn(x) = 0,
n—oo
mo
lim Io (fn) = 0. (1.2)
n—oo
Так как
-|f (x)|< f (x) <|f(x)|, то из неотрицательности элементарного интеграла следует неравенство
|Io(f)|< Io(|f |). (1.3)
Если функция f (x) = 1 принадлежит пространству элементарных функций, то отсюда следует неравенство
|Io(f)| < Io(1)sup{|f (x)| | x Є X}. (1.4)
Для построения интегрла по схеме Даниэля нужны только свойства 1.1.1 -1.1.7 пространства элементарных функций и элементарного интегала. Но в важных и интересных для приложений случаях (которые рассмотрены, например, в примерах 1.1.1 , 1.1.2 , 1.1.7) пространство элементар-L0(X)
ям:
f(x) = 1 L0(X).
В этом случае элементарный интеграл обычно нормируют условием
I0(1) = 1.
4
f(x) Є L0(X),
V(p > 1): |f (x)|p Є Lo(X).
Если эти условия выполнены, то построенный по схеме Даниэля интеграл обладает дополнительными свойствами, которые часто используются в приложениях,
В дальнейшем мм предполагаем,, что условия (1.1.8) и (1.1.9) выполнены.
Хотя при построении интеграла по схеме Даниэля на область задания интегрируемых функций формально не налагается каких-либо ограничений, но в действительности дело обстоит не совсем так. Если множество элементарных функций бесконечно, то для суждения о том, принадлежит или нет данная функция пространству элементарных функций и выполнено ли условие (1.1.7), нам нужно как-то описать свойства элементарных функций, а сделать это, ничего не зная об области задания элементарных функций, невозможно. Поэтому в практических применениях на область задания элементарных функций налагаютя дополнительные требования. Часто рассматривается следующая ситуация.
X
странство1, пространство элементарных функций, Lo(X) - это пространство C (X) всех непрерывных функций, на, компакте X, а элементарный интеграл Io это линейный неотрицательный функционал на
Заметим, что такой функционал в силу неравенства (1.4) является
C(X)
Выполнение условия (1.1.7) тогда следует из теоремы Дини и условия 1.1.8-1.1.7 также выполнены. Условие компактности топологическо-X
компактности носителя каждой функции f Є Lo(X). Рассмотрим примеры.
Утверждение 1.1.1. Пусть X = [а, Ъ] С R1, Lo(X) = C([а,Ъ]) -пространство всех непрерывных функций на отрезке [а, Ъ], а, элементарный, интеграл, задан, как интеграл, Римана:
1B этой главе под терминами компакт, компактное топологическое пространство и компактное множество можно понимать определенное равенством (1.7) подпространство евклидова пространства.
C(X)
x.
5
В этом случае выполнены, условия 1.1.1-1.1.4 для пространства L0(X) и условия 1.1.5-1.1.7 для, элементарного интеграла.
Проверим выполнение условия 1,1,7 Из признака равномерной сходи-мсти Дини следует, что если последовательность непрерывных функций fn(x) монотонно сходится к нулю в каждой точке отрезка [а, Ь], то она сходится к нулю равномерно на отрезке [а , Ь], поэтому
Обобщением предыдущего примера служит следующий пример. Утверждение 1.1.2. Пусть пространство X есть параллелипипед K:
Пусть L0(X) := C(K) -пространство всех непрерывных функций на K
мана:
L0(X)
1.1.5-1.1.7 для элементарного интеграла выполнены.
Эти примеры являются основными для дальнешего изложения: в дальнейшем, (если не оговорено другое) можно предполагать, что простран-
X L0(X)
интеграл I0 заданы так, как в 1.1.1 или 1.1.2. Все другие примеры при первом чтении можно не рассматривать.
Читателю предлагается проверить, что в следующих случаях выполнены условия 1,1,1 -1,1,7.
Пример 1.1.1. Пусть X = [а , b] С R1, L0(X) -пространство всех кусочно-линейных функций (кусочно-линейная функция -это такая непрерывная
[а , Ь]
ментарный интеграл задается формулой (1.6). Пример 1.1.2. Пусть
