Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
4.8.2 Полуограниченные эрмитовы формы и расширение операторов по Фридрихсу................354
4.9 Преобразование Келли и спектральное разложение неограниченных операторов.......................359
4.10 Коментарии и литературные указания.............369
5 Элементы математической теории рассеяния. 371
5.1 Абсолютно непрерывный и сингулярный спектр оператора. 371
5.2 Волновые операторы и оператор рассеяния..........377
5.3 Признаки существования волновых операторов и принцип инвариантности волновых операторов.............381
5.4 Формулы для матрицы рассеяния...............390
5.5 Комментарии и литератутные указания ...........395
6 Распределения. 397
6.1 Пространство пробных функций................397
6.1.1 Пространство Шварца..................398
V
6.1.2 Сходимость в простанстве S(Rd)............402
6.1.3 Непрерывные операторы в пространстве основных функций..........................403
6.1.4 Пространство пробных функций D(Rd)........404
6.2 Распределения...........................406
6.2.1 Медленно растущие распределения...........407
6.2.2 Сходимость в пространстве распределений......411
6.2.3 Случай пространства D(Rd)..............414
6.2.4 Примеры вычисления пределов распределений. . . . 414
6.2.5 Дифференцирование и преобразование Фурье распределений.........................419
6.2.6 Действие аффинной группы на распределения. . . . 425
6.2.7 Свертка рспределения и функции...........426
6.2.8 Прямое произведение распределений..........428
6.3 Фундаментальные решения дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами..............431
6.3.1 Существование фундаментального решения для дифференциального оператора с постоянными коэффициентами..........................432
6.3.2 Примеры вычисления фундаментальных решений. . 438
6.4 Пространства Соболева......................444
6.4.1 Преобразование Фурье-Планшереля..........444
6.4.2 Определение и основные свойства пространств Соболева...........................446
6.4.3 Теоремы вложения....................451
6.4.4 Пространства HP(D)...................456
6.5 Коментарии и литературные указания.............460
6.5.1 Преобразование Фурье..................460
6.5.2 Литературные комментарии..............461
А Приложение 463
А.1 Преобразование Вейля......................463
А.2 Теорема Дж. фон Неймана о единственности
представления КПС в форме Вейля..............474
А.З Указатель обозначений......................481
vi
Предисловие.
Предлагаемый вниманию читателя учебник функционального анализа написан на основе лекций, которые автор читал специализирующимся в математической физике студентам физического факультета Московского университета. Лекции имели своей целью подготовить студентов, которые получали специальность физика, к работе в области математической физики. Современная математическая физика в своей существенной части является областью функционального анализа: она использует язык, идеи и методы функционального анализа. Многие понятия и методы функционального анализа формировались процессе решения задач математической физики и обобщают опыт решения этих задач. В задачах квантовой механики роль функционального анализа принципиальна, так как аксиомы квантовой механики формулируются в заимстванных из функционльного анализа терминах.
Автор стремился написать простой учебник, который бы помог начинающему студенту-физику разобраться в математике, связанной с квантовой теорией, теорией рассеяния и т.д. Как введение в предмет, учебник может быть полезен и начинающему математику.
Содержание учебника ясно из оглавления и оно следует сложившемуся за последние приблизительно сорок лет канону учебников по функциональному анализу. Изложение построено так, что при первом чтении читатель может ограничиться минимумом сведений и получить общее предсталение о предмете, а потом присупить к углубленному изучения материала. Книга рассчитана на начинающего исследователя, который готовит себя к работе в области математической физики и смежных дисциплинах. Требования к начальной математической подготовке читателя минимальны: предполагается, что читатель знаком с основами математического анализа и линейной алгебры в объеме курса математики для технических вузов. От читателя ожидается разумная реакция на термины множество, отображение, функция и т. д.
Первая глава посящена изложению теории интеграла Лебега на основе метода Даниэля. Этот подход позволяет использовать уже известные
vii
результаты теории интеграла Римана. Необходимый минимум сведений о интеграле Лебега изложен в первом параграфе.
Вторая глава посвящена изложению основ теории метрических пространств. Необходимый минимум сведений о метрических пространствах изложен в первом параграфе.
В первые две главы учебника включены некоторые вопросы (теория меры и элементы общей топологии), которые прямо не относятся к функциональному анализу и на математических факультетах университетов обычно изучаются в курсах теории функций и топологии. Включение этих тем в учебник обусловлено тем, что они не рассматриваются в курсах математики для технических вузов, но знание их подразумевается в учебной литературе по специальным вопросам математической физики. Излагаемые в первой главе сведения по теории функций действительной переменной необходимы в математической теории рассеяния. По мнению автора, собранные в первых двух главах доплнительные сведения составляют необходимый (но не исчерпывающий) " общеобразовательный минимум" для работающего в области математической физики специалиста.
