Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Третья глава посвящена изложению основ теории банаховых пространств. Собранные в первых трех параграфах сведения о банаховых пространствах могут рассматриваться как достаточное для первого знакомства с предметом введение в теорию банаховых пространств. В даль-пешем подробно излагается операторное исчисление для аналитических функций, теория Рисса-Шаудера, аналитическая теория Фредгольма, теория полугрупп, теория возмущений. Подробно исследовано поведение резольвенты оператора в окрестности изолированной особой точки.
Четвертая глава посвящена теории гильбертовых пространств. Первые три параграфа посвящены изложению основ теории гильбертовых пространств. Далее подробно излагается борелевское операторное исчисление, разбирается понятие самосопряженности неограниченного оператора, приводятся критерии самосопряженности, доказывается спектральная теорема.
В пятой главе приведены началаьные сведения из математической теории рассеяния.
Шестая глава посвящена элементарной теории обобщенных функций и пространств Соболева. За исключением теоремы о существовании фундаментального решения, эта глава не требует знания каких-либо сведений из функционального анализа, ее можно читать независимо от предыдущего материала и она вполне доступна студенту технического вуза.
В приложении даны начальные сведения о преобразовании Вейля и дано элементарное доказательство теоремы Дж. фон Неймана о един-
viii
ственности шредингеровского представления CCR в форме Вейля,
Автор стремился сделать отдельные главы учебника максимально независимыми. Все утверждения приведены с подробными доказательствами. Это должно облегчить использование учебника в качестве пособия для самообразования и справочника для начинающего исследователя по отдельным вопросам функционального анализа. В основной текст с полными доказательствами включены некоторые темы, которые в учебниках по функциональному анализу для математиков часто выносятся в задачи для самостоятельной работы. Изложение иллюстрировано достаточным числом решенных в тексте учебника задач и примеров, которые поясняют излагаемый материал, но не могут рассматриваться как пособие для развития навыков в решении задач по функциональному анализу. Автор считает, что начинающему студенту-физику навыки в решении задач по функциональному анализу лучше приобретать под руководством преподавателя, так как преподаватель может указать на ошибку в рассуждениях и показать известные в математическом фольклоре приемы решения задач. Попытки самостоятельно преодолеть все трудности в решении задач часто приводят к неоправдано большим затратам времени.
Список литературы для дополнительного чтения рассчитан на читателя студенческой библиотеки. Аннотированные ссылки на новейшие учебники и пособия по функциональному анализу читатель может найти в Mathematical Review и в Интернете.
Ранее (2009 г.) учебник вышел в Научно-Издательском Центре "Регулярная и хаотическая динамика." В приводимом ниже тексте исправлены замеченные опечатки, расширен список литературы и сделаны некоторые дополнения в доказательства.
Арсеньев.
{a_arsenev@mail.ru }
ix
X
.....I......^tJ I {\i Tl> 3_
Элементарные сведения о интеграле и мере.
1.1 Интеграл Лебега.
1.1.1 Основные структуры, используемые при построении интеграла по схеме Даниэля.
Хорошо известно, что кусочно-непрерывная на отрезке [a , b] С R1 функция интегрируема по Риману, Одноко уже в простейших случаях предел кусочно-неперывных функций может быть не интегрируемым по Риману, Рассмотрим пример. Пусть X1 ,X2 ... -все рациональные точки отрезка [0 , 1],
ґ
1 .0(YIlI X = Xi,
0 ,если X = xi.
I(Xi|x)
Положим
Jn(X) = I(XiIx).
1<i<n
Функция Jn(X) равна нулю во всех точках отрезка [0 , 1], за исключением точек Xi, 1 < i < n, в которых она равна единице. Ясно, что Jn+1(X) >
fn(X) и
1 , X ,
J (x) := lim Jn(X) = < (1.1)
n^°° I 0 ,осли X иррациональное число.
Каждая из функций Jn (x) кусочно непрерывна на отрезке [0 , 1] и поэто-
[0 , 1]
Предел функций Jn (x) существует в каждой точке отрезка [0, 1]. Этот
1
предел называется функцией Дирихле. Функция Дирихле не интегрируема по Риману, так как для любого разбиения отрезка [0, 1] верхняя интегральная сумма функции Дирихле равна единице, а нижняя интегральная сумма равна нулю. Мы видим, что уже простейшие операции предельного перехода приводят к функциям, которые не интегрируемы по Риману.
Наша цель состоит в том, чтобы расширить понятие интеграла Рима-па так, чтобы интегрируемыми оказались все функции, которые в некотором естественном смысле можно считать пределами интегрируемых по Риману функций и на этот класс функций распространить понятие интеграла так, чтобы оно сохраняло основные свойства интеграла Римана.
Мы используем конструкцию, которая называется построением интеграла по схеме Даниэля. Общая схема наших рассуждений состоит в том, чтобы интеграл от предела функций рассматривать как предел интегралов от этих функций. В рассмотренном примере каждая из функций fn(x) интегрируема по Риману и ее интеграл равен нулю, Поэтому и предельной функции - функции Дирихле -естественно приписать значение интеграла, равное нулю. Нам нужно разработать общие правила для такой процедуры. Заметим, что в определение интеграла Римана входят три понятия: область, на которой определены интегрируемые функции, интегрируемые функции и интеграл. Множество интегрируемых по Риману функций является линейным пространством относительно операций поточечного сложения и умножения на действительные числа и обладает следующим свойством: если функция f (x) интегрируема по Риману, то и функция |f (x)| интегрируема по Риману. Интеграл Римана можно рассматривать как линейный функционал (напомним, что функционалом обычно называется отображение, область определения которого есть множество функций, а область значений -область действительных или комплексных чисел) , заданный на множестве интегрируемых функций, причем этот функционал неотрицателен в следующем смысле: если интегрируемая функция принимает только неотрицательные значения, то и её интеграл неотрицателен. Эти свойства интегрируемых по Риману функций и интеграла Римана кладутся в основу предлагаемого в схеме Даниэля обобщения понятия интеграла.
