Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
странства.
Рассмотрим примеры других топологических пространств.
[0 , 1)
[0 , a) , a < 1.
Легко проверить, что эта система подмножеств удовлетворяет аксиомам топологии.
[0 , 1]
O
жествам: A Є O, есл и A = [0, 1] \ {xj , 1 < j < n < о} , n = 1,____
Система множеств T = {0 , [0 , 1] , O} определяет топологию на отрезке
[0 , 1]
Определение 2.2.6. Система открытых подмножеств BcT топологического пространства (X , T) называется базой топологии T, если любое открытое подмножество пространства X есть объединение множеств из системы В.
109
Пример 2,2,3. Базой естественной топологии метрического пространства является система шаров в = {6(x ,б) | x Є X , б > 0).
Одна и таже топология может быть задана с помощью разных баз. Например, естественная топология метрического пространства может быть задана с помощью системы шаров с рациональными радиусами.
b
(X , t)
Ы. Для любого x є X существует такое множество Bx Є B, что x є Bx.
Ь2. Если B1 , B2 Є B и x є B1 г] B2, то существует такое B3 є B, что x є B3 с B1 г] B2.
Доказательство. Первое утверждение следует из того, что все пространство X есть объединение множеств из системы b. Второе утверждение следует из того, что множество B1 P B2 открыто и поэтому есть
b
bX
торая удовлетворяет условиям Ы и 62 леммы 2.2.2. Пусть O -система
X
множеств системы B. Тогда система множеств {0 , X , o) определя-
Xb
является базой.
Доказательство. Достаточно доказать, что если O1 ,O2 є O ,то O1 P O2
o
Oi = U Va , O2 = U V? ,Va , V? є b
hx є O1 P O2. Тогда существуют такие V'a , V?' из системы b, что
x є va, x є v?',
поэтому
x є V7 с vaf^ V?' ,V7 єв.
Следовательно, множество O1 P O2 есть объединение множеств из систе-bo
Пусть во -произвольная система подмножеств множества X, которая удовлетворяет условию:
X = (J Va ,Va є во. (2.28)
110
BX
пересечений конечного числа множеств из системы B0:
B Є B: B = р| Bj ,Bj Є Bo , n =1,...
1<j<ra
B
условиям 61 и 62 и поэтому является базой топологии на множестве X, Система B0 называется предбазой топологии с базой B.
Приведем пример задания топологии с помощью базы топологии.
Пример 2,2,4. Пусть X -окружность радиуса 1 и B -множество дуг l с
угловыми координатами
l = {Ф | ф1 < Ф < ф2, 0 < ф1 < ф2 < 2п) С X. (2.29)
BX
логии есть свернутая в окружность прямая Зоргенфрея (другое название этого топологического пространства -свернутое в окружность пространство стрелок).
Приведем пример задания топологии с помощью предбазы.
Пример 2.2.5. Пусть X = R1, и B0 -система полубесконечных интервалов вида (—то, а) , (6, то) , а, 6 Є R1. Эта система образует предбазу естественной топологии на R1.
Определение 2.2.7. Множество тех элементов базы топологии, кото-
xx или локальной базой топологии.
Ясно, что для задания топологии достаточно в каждой точке пространства задать локальную базу топологии.
x
x
x
Опишем задание топологии в произведении пространств.
Сначала напомним определение декартова произведения пространств. Пусть I -произвольное множество. Предположим, что каждому т Є I поставлено в соответствие множество Xr. Рассмотрим множество всех функций, которые каждому т Є I ставят в соответствие элемент множе-Xr
I Э т і—> xr Є Xr.
111
Это множество функций называется декартовым произведением пространств XT и обозначается символом Г] XT.
т ei
Приведем пример. Пусть I -это отрезок натурального ряда:
I = {1,...d} , Xt = R1. XT
числу т Є {1,... d} ставит в соответствие точку xT Є R1. Множество значений этой функции (x1, x2 ... xd) есть точка пространства Rd.
XT
TT
XT B
т ei
B Є B : B = Y[ Ot ,Ot Є Tt. (2.30)
т ei
где Ot = Л', для всех т, за исключением конечного числа индексов т Є I. Эта система подмножеств задает базу топологии в декартовом произведении Yl X1-, и порожденная этой базой топология называется тихонов-
т ei
ской топологией произведения пространств. Обычно по умолчанию считается, что декартово произведение топологических пространств снабжено тихоновской топологией.
2.2.2 Замкнутые множества.
A С X
(X , T) называется замкнутым, если его дополнение открыто:
(A замкну то) (C(A) Є T).
X
0
резок [а , b] есть замкнутое множество в естественной топологии про-R1
временно и открытое и замкнутое множество.
Из определения топологии и формул де Моргана следует
Утверждение 2.2.1. Любое пересечение замкнутых множеств замкнуто и объединение конечного числа замкнутых множеств замкнуто.
112
Определение 2.2.10. Замыканием Cl(A) множества A называется пересечение всех замкнутых множеств, которые содержат множество A:
Замыкание множества всегда существует ( все пространство есть замкнутое множество и содержит любое множество, поэтому пересечение всех замкнутых множеств,содержащих данное множество, всегда определено) и замыкание множества есть наименьшее замкнутое множество,
A
Замечание. По-английски замкнутое множество -это closed set, и замыкание множества часто обозначают символом A (как сказали автору студенты, черта сверху символизирует крышку, которой множество closed). Однако это обозначение не совсем удобно, если на данном множестве рассматривается несколько топологий и нужно пояснить, в какой топологии берется замыкание.
