Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
порождает а-аддитивную (в силу непрерывности функционала /) функцию множеств на а-алгебре A. Пусть E± -множества, котроые входят в разложение Хана функции V,
v± (A) = ±Z(I(A П E± |.)). (1.178)
Из (1.178) следует, что
V±(A) < ||Z | Lp(X)*yyi(^p|E± | .) | Lp(X)|| < const?(A)1/p,
81
поэтому меры V ± абсолютно непрерывны относите .1ЫЮ меры ?, ив силу теоремы Радона-Никодима существуют такие функции u±(x) є L(X), что
V(A є A) : v±(A) = ± ju(x)I(A | x)?(dx). (1.179)
Положим
u(x) = u+(x) — u-(x). (1.180)
Из (1.177) следует, что для всех принимающих лишь конечное число
/(x) є Lp(X) (1.180) функции u(x) справедливо равенство
1(/) = j u(x)/(x)?(dx). (1.181)
Положим
/(x | а) := /(x)I(|u(x)| < а | x)
Из (1.181) следует, что для всех принимающих лишь конечное число /(x) є Lp(X)
1(/(. | а)) = ju(x)/(x)I(|u(x)| < а | x)?(dx). (1.182)
Предельным переходом (см.лемму 1.2.5 на стр. 59) равенство (1.182) рас-
Lp(X)
V(/ є L(X)) : 1(/(. | а)) = j u(x)/(x)I(|u(x)| < а | x)?(dx). (1.183) причем,очевидно,
(. | а))|<|||1 | Lp(X)*||/(. | а) | Lp(X)||. (1.184)
Подставив в уравнение (1.184) функцию
/(x) = sign(w(x))|w(x)|q/pI(|w(x)| < а | x), мы получим неравенство:
1(/) = J |u(x)|qI(|u(x)| < а | x) ?(dx) = | а) | Lq(X)||q < ||1 | Lp(X)*||/ | Lp(X)|| =< ||Z | Lp(X| а) | Lq(X)||q/p, откуда следует, что
а) | Lq(X)П < Hl | Lp(X)*||. (1.185)
82
Переходя в (1,185) к пределу а —> оо, мы получим, что входящая в (1,183) функция и(х) принадлежит проетранетву Lq (X). Затем мы можем пе-а - о
Собирая доказанные выше леммы, мы получаем следующее утверждение.
Теорема 1.2.10. Любой линейный непрерывный функционал на пространстве Lp(X) , 1 < p < оо, задается в виде
l(f ) = I (uf),
где и Є Lq(X) и q-сопряженный, к p показатель: q = p/(p — 1).
P = 1 P = о отослав Читателя к цитированной в коментариях литературе.
1.2.10 Функции с ограниченной вариацией и абсолютно непрерывные функции.
В этом параграфе мы докажем несколько теорем о функциях дейтви-тельной переменной на отрезке. Эти теоремы существенно используются в математической теории рассеяния.
Пусть на отрезке [а , b] С R1 задана действительная функция f (х) и пусть
T = {а = х0 < X1,... < xn = b}
[а , b]
V(T | f= E |f(Xj+i — f(Xj)|. (1-186)
0<j<n
Определение 1.2.19. Полной вариацией (или изменением) функции
f(x) [а , b]
няя грань сумм вида (1.186):
V(f = sup V(T | f t (1.187)
f(x)
цией с ограниченным изменением), если
V(f )a < о.
83
Приведем примеры,
1. Любая монотонная функция есть функция е ограниченным изменением и для монотонной функции
V (/= |/(а) — / (Ь)|.
2. Если функция /(x) на отрезке [а, Ь] имеет непрерывную ограниченную производную, то
V(/< (Ь — а)8пр{|/'(x)|| x є (а,Ь)}.
3. Не любая непрерывная функция имеет ограниченное изменение. Примером непрерывной функции е неограниченным изменением является функция
/(x) = J0, x = 0,
/(x) \ фс cos(2x), 0 <x < 1.
[0 , 1]
T = {x0 = 0 < 1/2n < 1/(2n — 1) < .. .x2n = 1, то 1
1<j<ra
Теорема 1.2.11. 1. Если функции / и g имеют ограниченное изменение, то функция а/ + /? имеет ограниченное изменение и
V(а/ + /g)a < |a|V(/+ |в|V(g)^.
2. Если функция, / имеет ограниченное изменение и а < c < Ь, то
V (/)a = V (/)a+V (/)c. (1.188)
Доказательство. Первое утверждение очевидно. Для доказательства второго утверждения рассмотрим произвольное разбиение T отрез к а [а , Ь] и пусть T' -разбиение, полученное из разбиения T добавлением точки c Тогда
T' = T1IJ T2,
где T1 -точки разбиепня T\ которые лежат на отрезке [а , c], a T2 -точки разбиения T', которые лежат на отрезке [с, Ь]. Имеем:
V (T, / )a < V (t' , /) < V (T1, / )a+V (T2)b <
V (/)a + V (/к.
84
Так как это неравенство справедливо для любого разбиения, то
V (f t < V (f )a + V (f t
С другой стороны, для любых разбиений T1 и T2 отрез к о в [a, с] и [c, b] имеем:
V (f )a > V T2, f )a = V (Ti, f )a+v (T2, f %,
Следовательно,
V (f )a > V (f )a + V (f )c.
Теорема доказана.
Теорема 1.2.12. Если, функция имеет ограниченное изменение на от-
[а , b] [а , b]
двух монотонно неубывающих функций.
Доказательство. Докажем, что функция
x ^ V(f )l - f (x)
не убывает. Имеем:
V(fУа+Ах - f (x + Ax) - (V(f fa - f (x)) =
V(ffa+AX - (f (x + Ax) - f (x)) >
V(f)a+Aa -|f (x + Ax) - f (x)|> 0.
Равенство
f (x) = V (f )a - (V (f )a - f (x)).
дает искомое представление. Теорема доказана.
Следствие 1.2.2. Функция, имеет ограниченное изменение в том, и, только том, случае, если, она, есть разность двух неубывающих функций.
Определение 1.2.20. Функции f(x) на отрезке [a, b] называется абсолютно непрерывной, если для любого б > 0 существует такое > 0, что для любых интервалов (aj , bj) С [a , b] , 1 < j < n, которые удовлетворяют условиям
V(j = i) : (aj , bj) П(аг, bj) = 0 , (bj - aj) < <*(б)
i < j <n
выполнено неравенство
E If (aj) - f (bj )l <б.
i < j< n
85
Очевидно, что любая абсолютно непрерывная функция непрерывна.
Теорема 1.2.13. Абсолютно непрерывная функция, имеет ограниченную вариацию.
/(x)
[а , Ь]
[а, Ь]. Найдем такое 6 > 0, что
