Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
V(x) х V(y) x х y
пространстве X х Y, которая в силу (2.42) не пересекается с диагональю, поэтому множество C(diay) открыто, а множество diay замкнуто. Если диагональ замкнута, то точка x х у при x = у имеет непересекающуюся с диагональю открытую в топологии произведения X х X окрестность. По
X х X
вать такие открытые окрестности V (x) и V (у) точек «у, что выполнено соотношение (2.42). Лемма доказана. Следствием этой леммы является
Лемма 2.2.8. Если f и g -непрерывные отображения пространства, X
Y
diay С X х X , diay := {x х у | x Є X , у Є X , x = у}
(2.42)
V(x Є A) : f (x) = g(x)
(2.43)
mo
V(x Є Cl(A)) : f (x) = g(x).
(2.44)
121
Доказательство. Рассмотрим отображение F пространства X в пространство Y X Y:
X э x ь-> F(x) = f (x) X g(x) Є Y X Y.
Отображение F непрерывно, поэтому прообраз F —1(diag) C X замкнутого в топологии Y X Y множества diag C Y X Y замкнут в топологии пространства X, Но A C F—1(diag), поэтому Cl(A) C F—1(diag). Лемма доказана.
Лемма 2.2.9. Метрическое пространство есть нормальное пространство.
Доказательство. Заметим, что в силу неравенства (2.11) для любого A
x ь dist(x , A) AB
функция
x ь dist(x , A) + dist (x , B)
в силу следствия 2.2.3) не равна нулю ни в одной точке, так как нет
AB
Поэтому функция
f(x) =_^t(x, A)_
J v 1 dist(x, A) +dist(x, B) v " s
непрерывна. Положим
Ob = {x I f (x) > 3/4} ,Oa = {x | f (x) < 1/4}.
В силу непрерывности функции f (x) множеетва Oa и Ob открыты. Очевидно, что они не пересекаются и выполнены включения A C Oa , B C On. Лемма доказана.
AB
метрическом пространстве функция (2.45) непрерывна и удовлетворяет
f(A) = 0 , f(B) = 1. в метрическом пространстве, но и в любом нормальном топологическом пространстве. Для доказательства этого факта мы сначала докажем лемму, которую называют малой леммой Урысона.
X
AX
пости Oa множеет ва, A существует такая открытая окрестность VA D A, что
A C Va C CI(Va) C Oa. (2.46)
122
Доказательство. Пусть D = C(OA). Множество D замкнуто и A Г] D = 0. Так как простра нство X нормаль но, то существуют такие открытые окрестности VA d A и VD d D, что VA Г] VD = 0 Поэтому C(VD) с VA-Множество C(VD) замкнуто и содержит VA-Ho Cl(VA) -наименьшее замкнутое множество, которое содержит VA, поэтому Cl(VA) с C(VD)¦ Так
VD d D C(VD) с C(D) = OA чения
A с Va с CI(Va) с C(Vd) с Oa.
Лемма доказана.
Теперь докажем большую лемму Урысона.
XA BX гда существует такая непрерывная функция f: X — Ш\ что f (A) = 0 , f (B) = 1 , 0 < f (x) < 1.
Доказательство. Положим V(1) = C(B). Множество V(1) открыто и A V (0)
A
A с V(0) с Cl(V(0)) с V(1).
Такая окрестность существует на основе малой леммы Урысона. Докажем, что для любых n = 0,1и двоично-рациональных p', p = 2-nm , 0 < m < 2n мы можем найти такие открытые множества V(p), V(p'), что
v(p' > p) : A с V(p) с ClV(p) с V(p'). (2.47)
n=0
ких окрестностей доказано выше, (n + 1)-й шаг индукции проведем так. Для
p' = 1(2"ram + 2"ra(m + 1)) = 2"(га+1)(2т + 1), m < 2"га,
мы, воспользрвавшись малой леммой Урысона для замкнутого множества Cl(V(2-nm)) и его открытой окрестности V(2-n(m + 1)), найдем
V ( p')
Cl(V(2"ram)) с V(2-(ra+1)(2m +1)) с Cl(V(2"(га+1)(2т + 1))) с V(2"ra(m +1)).
Существование удовлетворяющих условию (2.47) окрестностей доказано. По построению эти окрестности удовлетворяют условию
v(p' > p) : A с Cl(V(p)) с V(p') с V(1) = C(B).
123
Определим функцию
f(x)
inf{p I x Є V(p)} 1 , x Є B.
f(x)
f (x) = 0 ,x Є A; f (x) = 1 ,x Є B ;0 < f (x) < 1, x Є X.
f(x)
Пусть
O(e) = (J V(p).
p<e/2
Множество O(є) открыто и из определения функции f (x) следует, что
f (O(e)) C [0 ,є)
Пусть (t - є/2 ,t + є/2) C (0 , 1)и O'(є) = V(t + є/2) \ Cl(V(t - є/2)). Множество O' (є) открыто и из определения функции f (x) следует, что f (O'(є)) C (t - є/2 ,t + є/2).
Пусть O''^) = C(Cl(V(1 — є/2))). Множество O''^) открыто и из определения функции f ^следует, что f (O''^)) C (1 — є, 1].
f(x)
сона доказаны.
X
u Ai, 1 < i < n < ж -попарно непересекающиеся замкнутые множества в X , ai -произвольные константы. Тогда существует непрерывная функция f: X ь R1, которая, удовлетворяет условиям,:
Доказательство. Для множеств A = [J Aj и B = Ai построим функ-
fi(x) 'Тогда функция
есть искомая функция.
Это следствие уточняет теорема Брауэра-Титце-Урысона о продолжении функции.
f (x) = ai ,x Є Ai ; If (x)I<
ai| , x Є X.
1<i<n
124
XA подмножество в X, и Xp: A ь R1 -непрерывная в топологии Ta ограниченная функция. Тогда существует такая непрерывная функция f: X ь R1, что \/(x Є A) : f (x) = Xp (x).
Доказательство. Пусть M0 = sup{pp(x)I I x Є X}. Определим множества
Aoo = {x I ip(x) > Mo} , A01 = {x I pp(x) < -Mo}.
Множества A00 , A01 замкнуты в пространстве (A , Ta), а поекольку A за-XX X f0 ( x)
ям:
f0(x) = М0/З ,x Є A00; f0(x) = -М0/З ,x є A01 If0(x)I< М0/З , x Є X.
Существование такой функции следует из большой леммы Урысона. Положим
Ф1 (x) = i)(x) - f0(x). Функция Xp1 (x) непрерывна на A и удовлетворяет оценке
sup{Ixp1(x)I I x Є X} < 2/ЗМ0.
К функции Xp1 мы снова применим наше построение. Так мы получим функциональные последовательности
