Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
Задача. Докажите, что форма является интегральным инвариантом отображения g тогда и только тогда, когда g*wk = ш*.
Задача. Докажите, что если формы юк и ю1 — интегральные инварианты отображения g, то форма юк Д са' — также интегральный инвариант g.
Теорему пункта А можно сформулировать так:
Теорема. Задающая симплектическую структуру форма со2
является интегральным инвариантом гамильтонова фазового*
потока.
Рассмотрим теперь внешние степени формы со2,
(со2)2 = со2 Л ю2, («>2)3 = со3 Л ю8 Л to2, ... .
180
ГЛ. 8. СИМПЛЕКТИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ
Следствие. Каждая из форм (tos)a, (со2)3, . .. является интегральным инвариантом гамильтонова фазового потока.
З а д а ч а. Пусть размерность симплектического многообразия (АРп, со2) равна Zn. Покажите, что (co2)k = 0 при к > п, а (со2)™ — невырожденная 2ге-форма на М*п.
Определим элемент объема на Min при помощи (со2)п. Тогда гамильтонов фазовый поток сохраняет объемы, и мы получаем из предыдущего следствия теорему Лиувилля.
Пример. Рассмотрим координатное симплектическое пространство Msn = R2n = {(р, q)}, со8 = dp /\dq = ^dPl Д Uq1. В этом случае форма (co2)R пропорциональна форме
2 ^л-'-Л^кЛ^Л-'-Л^.
4< — <ік
Интеграл формы coafc равен сумме ориентированных объемов проекций на координатные плоскости (ptl ..., р,к, qh, . .. , gfJfc).
Отображение g: Ra" -*¦ R2n называется каноническим, если оно имеет со2 интегральным инвариантом. Каждая из форм со4, со6, . . ., со2™ является интегральным инвариантом всякого канонического отображения. Следовательно, при каноническом отображении сохраняется сумма ориентированных площадей проекций на координатные плоскости (pit, . .., pik, Qi1, . .., qi}!), 1 <I/V <^ п. В частности, канонические отображения сохраняют объемы.
Гамильтонов фазовый поток, заданный уравнениями р = —--щ-, q = -щ^ состоит из канонических отображении g .
Рассмотренные выше интегральные инварианты называют также абсолютными.
Определение. Дифференциальная /с-форма со называется относительным интегральным инвариантом отображения g: M М, если
CO=JtO
gc с
для всякой замкнутой А-цепи с.
Теорема. Пусть со — относительный интегральный инвариант отображения g, тогда dto — абсолютный интегральный инвариант g.
Доказательство. Пусть с — к + 1-цепь, Тогда
JJdCO=L J CdJ= J CuJ= J CO^JdCO
с вс gdc dg с gc
{1 и 4 — формула Стокса, 2 — определение относительного инварианта, 3 — определение границы).
S 39. АЛГЕБРА ЛИ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ
181
Пример. Каноническое отображение g: R2Tl —> R2n имеет относи' тельным интегральным инвариантом 1-форму
п
a1 =pdq=z ^p1(Iq.. i=l
Действительно, всякая замкнутая цепь с в R*11 является границей некоторой цени а, и мы находим
jj СО*= J СО» = J Cu»= J dCO» = JdCu»= J O)I=J6)I
go g да dgo go о да с
(1 и 6 — определение 0, 2 — определение д, 3 и 5 — формула Стокса, 4 — каноничность g и выкладка dco» = d (р dg>) = dp /\ dg = со2).
Задача. Пусть dco* — абсолютный интегральный инвариант отображения g: M —» М. Вытекает ли из этого, что со* — относительный интегральный инвариант?
Ответ. Нет, если в M есть fc-мерные замкнутые цепи, не являющиеся границами.
В. Закон сохранения энергии.
Теорема. Функция H является первым интегралом гамильтонова фазового потока с функцией Гамильтона Н.
Доказательство. Производная H по направлению вектора г) равна значению dH на векторе т). По определению гамильтонова поля Tj = / dH находим
dH (ti) = со2 (т], IdH) = со2 (ч, Ч) = 0.
Задача. Докажите, что 1-форма dH является интегральным инвариантом фазового потока с функцией Гамильтона Н.
§ 39. Алгебра Ли векторных полей
Каждой паре векторных полей на многообразии сопоставляется новое векторное поле, называемое их скобкой Пуассона. Скобка Пуассона превращает линейное пространство бесконечно дифференцируемых векторных полей на многообразии в алгебру Ли.
А. Алгебра Ли. Примером алгебры Ли является трехмерное ориентированное евклидово линейное пространство, снабженное операцией векторного умножения. Векторное произведение билинейно, кососимметрично и удовлетворяет тождеству Якоби
[[A1 В], С] + [[B1 Clt A] + [[Cx A\t В] = 0.
Определение. Алгеброй Ли называется линейное пространство L вместе с билинейной кососимметричной операцией L X L -*¦ L, удовлетворяющей тождеству Якоби.
Операция обычно обозначается квадратными скобками и называется коммутатором.
З а д а ч а. Докажите, что множество n X n-матриц становите я алгеброй Ли, если определить коммутатор как [А, В] = AB — BA.
182
ГЛ. 8. СИМПЛЕКТИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ
Б. Векторные ноля и дифференциальные операторы. Пусть M — гладкое многообразие, А — гладкое векторное поле на М: в каждой точке ас ЄЕ M задан касательный вектор А (ас) ЄЕ ТМа, С каждым таким векторным полем связаны следующие два объекта.
1. Однопараметрическая группа диффеоморфизмов *), или поток Аг : M —*¦ М, для которого А есть поле скоростей (рис. 168): d dt
Рис. і 68. Группа диффеоморфизмов, заданная векторным полем
