Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
замкнутой формы по fc-мерному циклу можно заменять цикл на другой при условии, что их разность есть граница к + 1-мерной
цепи («пленки», рис. 165):
(О
Рис. 165. Гомологичные циклы
если а — Ъ = дсК+1 и d(ok = 0.
Такие два цикла а, Ъ Пуанкаре назвал гомологичными.
При надлежащем определении *) группы цепей на многообразии M и лежащих в ней подгрупп циклов и границ (т. е.циклов, гомологичных нулю), фактор-группа
(циклы)/(границы) = НК (M)
называется к-мерной группой гомологии М.
Элементом этой группы является класс гомологичных друг другу циклов.
Ранг этой группы также равен fc-мерному числу Бетти многообразия M («теорема Де Рама»).
*) Нашу группу {cfc} следует для этого уменьшить, отождествив между собой куски, отличающиеся лишь выбором параметризации / и выбором многогранников D. В частности, можно считать, что D — всегда один и тот тот же симплекс или куб. Далее, следует считать равным нулю всякий A-мерный кусок (D, f, Op), если он вырожден, т. е. / = Z2-Z1, где Zi-. D —» D' и D' имеет меньше чем к измерений.
ГЛАВА 8
СИМПЛЕКТИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ
Симплектическая структура на многообразии — это замкнутая невырожденная дифференциальная 2-форма на нем. Фазовые пространства механических систем имеют естественные симплек-тические структуры.
На симплектическом многообразии, как и на римановом, имеется естественный изоморфизм между векторными полями и 1-формами. Векторное поле на симплектическом многообразии, соответствующее дифференциалу функции, называется гамиль-тоновым векторным полем. Векторное поле на многообразии задает фазовый поток: однопараметрическую группу диффеоморфизмов. Фазовый поток гамильтонова векторного поля на симплектическом многообразии сохраняет симплектическую структуру фазового пространства.
Векторные поля на многообразии образуют алгебру Ли. Га-мильтоновы векторные поля на симплектическом многообразии также образуют алгебру Ли. Операции в этих алгебрах называются скобками Пуассона.
§ 37. Симплектическая структура на многообразии
Здесь определены симплектические многообразия, гамильтоновы векторные поля на них и стандартная симплектическая структура в кокасательном расслоении.
А. Определение. Пусть М2п-четномерное дифференцируемое многообразие.
Симплектической структурой на Af2n называется замкнутая невырожденная дифференциальная 2-форма со2 на М2п:
d(o2 = 0, VI^O Зч : to2 (I, Ti)^O (1,цЄЕТМж).
Пара (M2П, со2) называется симплектическим многообразием. Пример. Рассмотрим линейное пространство R2n с координатами
Pi, qi, и пусть ю2 = Sdpj Д (?.
Задача. Проверить, что (R2", ю2) — симплектическое многообразие. При п = 1 пара (R2, ш2) есть пара (плоскость, площадь).
Следующий пример объясняет появление симплектических многообразий в динамике. Наряду с касательным расслоением Дифференцируемого многообразия часто полезно рассматривать двойственное ему кокасательное.
176
ГЛ. 8. СИМПЛЕКТИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ
T*V
4*
Рис. 166. 1-форма р dq на касательном расслоении
Б. Кокасательное расслоение и его симплектическая структура. Пусть V — дифференцируемое n-мерное многообразие. 1-форма на касательном пространстве к V в точке ас называется кокасателъным вектором к V в точке ас. Множество всех кокаса-тельных к V в точке ас векторов образует n-мерное линейное пространство, сопряженное к касательному пространству TVx. Это линейное пространство кокасательных векторов обозначается через Т* Vx и называется кокасателъным пространством к многообразию V в точке ас.
Объединение кокасательных пространств к многообразию во всех его точках называется кокасателъным расслоением V и обозначается через T*V. Множество T*V имеет естественную структуру дифференцируемого многообразия размерности 2п. Точка из Т*V — это 1-форма на касательном пространстве к V в какой-либо точке из V. Если q — набор п локальных координат точки из V, то такая форма задается своими п компонентами р. Вместе 2п чисел р, q составляют набор локальных координат точки Т* V.
Существует естественная проекция / : T*V-*¦ V (сопоставляющая каждой 1-форме на Г У* точку ас). Проекция / является дифференцируемым отображением на. Прообраз точки х G= V при отображении / есть кокасательное пространство Т* Vx.
Теорема. Кокасательное расслоение T*V имеет естественную симплектическую структуру. В описанных выше локальных координатах эта структура задается формулой
fto2 = dp/\dq = dPl Д Jg1 + ... + dpn Д dqn.
Доказательство. Вначале мы определим на Т*V замечательную 1-форму. Пусть |ЕІГ (T*V)V — вектор, касательный к кокасателъному расслоению в точке р G= T*VX (рис. 166). Производная ft: T (T*V) —> TV естественной проекции / : T*V —> V переводит \ в вектор /^|, касательный к V в точке ас. Определим 1-форму со1 на T*V соотношением со1 (|) = р (JВ описанных выше локальных координатах эта форма имеет вид со1 = р dq. Согласно примеру пункта А замкнутая 2-форма со2 = dw1 не вырождена.
Замечание. Рассмотрим лагранжеву механическую систему с конфигурационным многообразием V и функцией Лагранжа L. Легко сообразить, что лагранжева «обобщенная скорость» q — касательный к конфигурационному многообразию V вектор, а «обобщенный импульс» р = dLldq — кока-сательный. Позтому фазовое «р, ^-пространство лагранжевой задачи — зто кокасательное расслоение конфигурационного многообразия. Итак, предыдущая теорема показывает, что фазовое пространство механической задачи имеет естественную структуру симплектического многообразия.
