Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
§ 2. ХАУСДОРФОВОСТЬ МЕТРИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА В
ЕСТЕСТВЕННОЙ ТОПОЛОГИИ
Сначала введем понятие открытого множества в метрическом пространстве.
Определение 1. При любом є > О открытым шаром О (а, є)
радиуса, є с центром в точке а в метрическом пространстве (X, р) называется множество, состоящее из всех точек X 6 Xt удовлетворяющих условию
p(a, х) < е.
Определение 2. Шар 0(а,є) называется также ^-окрестностью точки а.
Определение 3. Множество точек К (а, є), определяемое условием р(а,х) < є, называется замкнутым шаром радиуса є > 0 с центром в точке а.
Заметим, что при є і < є2 имеем
0(а,єі) С 0(а,є2), K(atei) С K(afe2).
Определение 4. Точка a ? M С X называется внутренней точкой множества М, если она имеет є-окрестность, целиком составленную из точек множества М.
Определение 5. Множество M называется открытым, если любая его точка является внутренней..
Пример. Для всякой точки a € X любая ее ^-окрестность будет открытым множеством.
Действительно, если точка у Є 0(ate), то имеем ро = р(а, у) < є. Возьмем Si - окрестность точки у, где Єї = tjz^-, Тогда эта окрестность целиком принадлежит множеству О (а, є), так как для всякой точки z є О (у, єі) из неравенства треугольника имеем
/ \ / \ / \ € — Po & Po
p(a,z)< p(aty)+p(y,z) < Pq -j- — =- + _<?,
т.е. p(a,z) < є, следовательно, точка z 6 0(а,є), что и требовалось доказать.
Докажем несколько свойств открытых и замкнутых множеств.
302 Утверждение 1. Пересечение двух открытых в X множеств Mi и M2 — открытое множество.
Доказательство. Пусть х S М\ DM2i тогда х € Mi, х € M2. Поскольку М\ и M2 — открытые множества, найдется е і-окрестность точки X1 содержащаяся в Afi, и найдется ?2-°крестность точки х, содержащаяся в M2. Возьмем є = mi її (е і, є2). Тогда ^-окрестность точки X принадлежит и множеству Mi, и множеству M2, т.е. є-окрестность точки X содержится в МіС\М2, что и требовалось доказать.-
Утверждение 2. Объединение V любого числа открытых множеств M является открытым множеством.
Доказательство. Возьмем любую точку х 6 V- Тогда существует множество M QV такое, что х € V, и точка х — внутренняя точка множества М. Следовательно, существует е-окрестность точки х, целиком содержащаяся в М, а значит, содержащаяся в V, что и требовалось доказать.
Итак, введенные нами открытые множества образуют топологию, которую называют естественной топологией метрического пространства. Это пространство будет и хаусдорфовым. Действительно, пусть Xf у — любые точки метрического пространства X и х Ф У» РІхіУ) = Po > 0, тогда окрестности 0(х, ^1) и 0(у, ^1) этих точек, согласно неравенству треугольника, не пересекаются. Если бы существовал элемент z Є 0(х, ^l) П 0(у, ^l), то
р0 = р(х,у) <p(x,z) + p(z,y) < ^ + ^.= т.е. ро = о, но это не так.
§ 3. ВНУТРЕННИЕ, ВНЕШНИЕ И ГРАНИЧНЫЕ ТОЧКИ МНОЖЕСТВА В МЕТРИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Определение 1. Любое открытое множество <т, содержащее точку х, называется окрестностью точки х.
Определение 2. Всякое множество X метрического пространства X, дополнение которого <т = Х\х — открыто, называется замкнутым.
Определение 3. Внешней точкой множества А называется всякая внутренняя точка его дополнения В = X \ А.
Определение 4. Точка z называется граничной точкой множества А, если она не является ни внутренней, ни внешней точкой этого множества.
Множество {z} всех граничных точек А называется границей и обозначается через дА.
зоз Утверждение 1. Пусть В = Х\А. Тогда dA = dB, т.е. множества А и В имеют общую границу.
Действительно, если z — граничная точка множества А, то любая ее окрестность содержит как точки из множества Aj так и точки из множества В, а потому z — граничная точка множества В. И наоборот, если z Є dB, то z € дА. Следовательно, границы множеств А и В совпадают, т.е. дА = dB, что и требовалось доказать.
Утверждение 2. Если множество А —- замкнуто, то дА С А.
Действительно, в силу того, что множество В = X \ А — открыто, точки его границы dB не принадлежат В, а значит, они принадлежат его дополнению, т.е. множеству А и dB С А, но так как дА = dB, то дА С А, что и требовалось доказать.
Определение 5. а) Точка а называется предельной точкой множества At если в любой є-окрестности точки а содержится хотя бы одна точка х Є А такая, что х ф а.
б) Точка а называется предельной точкой множества А, если существует последовательность точек {хп} С А, хп Ф а такая, что Iim хп = а.
г)-+»
Утверждение 3. Определения а) и б) эквивалентны.
Доказател ь с т в о. Докажем, что из а) следует б). Для этого нам надо построить последовательность {хп}, сходящуюся к а, хп ф а. Строим ее так. Точку х\ € А выбираем произвольно в 1-окрестности точки а, точку X2 — в 1/2-окрестности точки а и т.д. Тогда для любого числа є > 0 вне любой ^-окрестности точки а содержится не более «о = гсо(?) — 1 точек последовательности
(Xrl), т.е. точка а является пределом последовательности {хп}.
Докажем теперь, что из б) следует а). Поскольку последовательность {хп} бесконечна и вне любой окрестности точки а лежит лишь конечное число членов последовательности, в ней содержится хотя бы один член этой последовательности, что и требовалось доказать.
