Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
~ Tl —
Следовательно, в силу теоремы 2 о промежуточном значении непрерывной функции отрезок [m, М] принадлежит области значений функции /(х), и потому существует точка ? € [а, 6] такая, что /(?) = Л. Это и есть искомая точка. Лекция 15
s 6. ПОНЯТИЕ РАВНОМЕРНОЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ
Запишем определение функции, заданной на множестве X и непрерывной в точке x0 Є X: для любого є > 0 существует S = J(e) > О такое, что при всех х Є X и \х — ®о| < S имеем |/(х) — /(яо)| < є.
Вообще говоря, при фиксированных є > 0 у каждой точки хо будет свое значение величины т.е. зависит от Xo и это можно
символически записать так:
5(e) = J(e,x0).
Если оказалось, что для любого є > 0 и всякой точки Xo Є X величина не зависит от хо, то функция /(х) называется равномерно непрерывной на множестве X.
Запишем это определение более четко в эквивалентной форме.
Определение. Функция /(х) называется равномерно непрерывной на X, если
V є > 0 3 S = 8(e) > 0 такое, что Vxi,X2EX: Jxi- х2| <6 |/(хі) - Дх2)| < є.
Теорема (теорема Гейне - Кантора). Функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нем,
Доказательство. (От противного). Пусть /(х) непрерывна, но не является равномерно непрерывной на [а, Ь). Тогда
3c>0:'V*>0: 3a,?eX: |а - ?\ < 6 и |/(а) - f(?)\ > є.
Рассмотрим последовательность 5 — Jn = 1 /п. Каждому п тогда соответствует пара точек otn,?n такая, что
\an~?n\<l/п, \f(<*n)-f(?n)\>e.
Последовательности {а„} и {?n} являются ограниченными. По теореме Больцано-Вейерштрасса из ап можно выбрать сходящуюся подпоследовательность {<*П(С}, т.е. аПк —> хо Є X при к —> оо. Далее,
\<*пк - ^nkI < 1/"*» 93 следовательно, -уПк = аПк — ?nk есть бесконечно малая последовательность и ?nk X0 при к оо. Но тогда ук = f(ank) /(х0), Zk = f{?nk) /(X0) при к оо, т.е. ** = |у* - zk\ О при к оо. Но это противоречит тому, что
tk = Iyfc- Zk\ >Є,
так как, переходя в этом неравенстве к пределу при к —> со, получим О > ?, что неверно. Доказательство закончено.
Доказательство теоремы Кантора проходит аналогично и для множества X, которое не обязательно является отрезком. Достаточно, чтобы множество X было ограниченным и содержало все свои предельные точки.
§ 7. СВОЙСТВА ЗАМКНУТЫХ И ОТКРЫТЫХ МНОЖЕСТВ. КОМПАКТ. ФУНКЦИИ, НЕПРЕРЫВНЫЕ НА КОМПАКТЕ
Определение 1. Множество точек (на вещественной прямой) называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки.
Напомним, что хо — предельная точка множества А, если во всякой окрестности точки хо находится бесконечно много точек, принадлежащих А (а сама точка хо может принадлежать или не принадлежать
Л).
Определение 2. Множество называется открытым, если каждая его точка содержится в ее S-окрестности, целиком состоящей из точек этого множества.
Пример. Интервал — открытое множество, а отрезок — замкнутое множество.
Определение 3. Ограниченное замкнутое множество (на вещественной прямой) называется компактом.
Утверждение 1. а) Если А — замкнутое множество, то Ai = Ж\Л открыто.
б) Если В открытог то Bi = Ш\В замкнуто.
Доказательство, а) (От противного). Если существует а € Aii у которой нет окрестности, целиком состоящей из точек множества Ль л*о во всякой ^-окрестности точки а есть хотя бы одна точка из А, отличная от а, а следовательно, и бесконечно много точек из А. Но тогда а есть предельная точка множества А, и ввиду замкнутости А имеем, что а ? А, но а Є А\. Имеет место противоречие.
94 б) Пусть ? — предельная точка для В\ и ? Є В. Тогда в любой ее окрестности есть точки Bii а это противоречит тому, что у любой точки множества В есть окрестность, состоящая из одних только точек множества В. Это значит, что ? $ В, т.е. ? Є Bi, следовательно, Bi замкнуто, что и требовалось доказать.
Утверждение 2. а) Любое объединение открытых множеств открытOf конечное пересечение открытых множеств — тоже открытое множество.
б) Любое пересечение замкнутых множеств замкнуто, конечное объединение замкнутых множеств замкнуто.
Доказательство. Пусть а € LMa. Тогда существует номер
от
Ocq такой, что а Є Aaa, и существует ^-окрестность точки а, целиком принадлежащая Aa. Обозначим ее Os (а). Тогда Os (а) С IJAa, т.е.
ct
п
U^or открыто. Пусть теперь а Є f) -j^k- Тогда 3 Osm (а) С Am Vmn
а fexsl
при 6 = min(Ji,..., (Jm) имеем
Os(a) = П О*» С! П Ak-
к=I к=1
Таким образом, утверждение а) доказано, а утверждение б) следует из утверждения 1 б), что и требовалось доказать.
Определение 4. Пусть заданы множество А и система множеств {В}. Будем говорить, что В есть покрытие А, если для любого а Є А существует В Є {В} такое, что а Є В.
Следующее утверждение обычно берут за определение компакта.
Утверждение 3 (лемма Бореля). Из любого покрытия компакта открытыми множествами можно выбрать конечное подпокрытие.
Доказательство. От противного. Пусть А — компакт, тогда 3 отрезок Jq1 такой, что А С Jo (поскольку А ограничено). Делением отрезка пополам строим систему стягивающихся отрезков Jq Э J\ D ¦ ¦ О Jk D • •. с условием, что множества AflJfc не допускают конечного покрытия для любого к. Пусть Xq — их общая точка.
