Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
98 Пример. Если /(х) = х2, X = 1, Ax = 2, то
А(х2)| ^=I = ((« + Ax)2-X2)I х=і =9—1 = 8.
Дат=2 Ax-2
Теперь рассмотрим более подробно приращение Д/(х) как функцию от приращения аргумента Ax. Очень важным для построения всего курса математического анализа является случай, когда Д/(х) бесконечно мала и при этом еще и эквивалентна линейной функции вида с Ах, где с — некоторая вещественная постоянная. В этом случае говорят, что приращение Д/(х) имеет линейную часть, называемую дифференциалом функции f(x) в точке X = а, а функция /(х) называется дифференцируемой в точке х = а.
Другими словами, мы приходим к следующему определению. Пусть /(х) определена в некоторой <У-окрестности точки X = а.
Определение 1. Линейная функция д(Ах) = сАх называется дифференциалом приращения Д/(х) (или дифференциалом самой функции /(х) в точке X = а), если
Д/(х) ~ сАх при Ax —у О,
т.е.
Af (х) = сАх ¦+ 7(Дх)Дх, где с € M и 7(Дх) -»¦ 0 при Ax -»¦ 0.
Дифференциал функции /(х) обозначается df(x) или просто df. Из определения вытекает, что
Iun^W=C
Дх-t-o Ax
Если при этом сф 0, то
Af
——? 1 при Ax 0. df
Отметим, что функция 7{Дх) определена в некоторой проколотой окрестности точки X = а, функция Д/(х) определена в некоторой ^-окрестности этой точки, а функция df(x) = сАх определена для всех ж Gl, Нам удобно будет доопределить функцию 7(Дх), полагая 7(0) = 0. В результате в равенстве
Af (х) = df(x) + 7(Дх)Дх,
определяющем дифференциал df(x), все участвующие функции будут определены и непрерывны в некоторой окрестности точки Ax = 0.
Далее, легко видеть, что Ax = dx.
4*
99 Определение 2. Число с = называется производной функ-
дии /(х) в точке X = а. Для производной используются следующие общепринятые обозначения:
Jf(X)
c = f'(a) =
dx
x—a
Если df(x) существует, то, исходя из определений 1 и 2, мы также можем написать
Я*) - /И
/'(а) = Iim
= с,
X-У a X — a
т.е.
f(x) — f(a) ~ f'(a)(х — а) при х -У а.
Введенные выше понятия дифференциала и производной функции имеют не только глубокий аналитический смысл, но вполне определенный физический, точнее, механический, а также геометрический смысл.
Введем понятие касательной к кривой в данной точке.
Определение 3. Касательная, точнее, наклонная касательная
к кривой у = f(x) в точке координатной плоскости с координатами х = а, у = /(а) — это такая прямая, которая проходит через точку (а,/(а)), и ее угловой коэффициент к, т.е. тангенс угла ее наклона, равен пределу углового коэффициента Ar(Aar) "секущей" прямой, проходящей через точки (а,/(а)) и (а + Дя, /(а -f Aar)) при Ax —У 0.
Поэтому говорят, что касательная — это предельное положение секущей.
Геометрический смысл производной раскрывается следующим ее свойством: число /'(а) есть тангенс угла наклона касательной к кривой, задаваемой уравнением у = f{x)} на координатной плоскости хОу в точке (а,/(а)).
Механическая интерпретация. Если і — текущее время; s(t) — путь, пройденный телом за отрезок времени f — to, где tо — начало отсчета, то
Д*(<) \t—a
есть путь, пройденный телом за время от t = a до t = a + At, т.е.
As(t) = «(а + At) - «(a).
Отношение
As(f)
есть средняя скорость на отрезке времени [a, a+ At], а предел этой скорости при At —у 0 — мгновенная скорость тела в момент времени t = а. Именно эту величину показывает спидометр автомобиля при его движении.
100 Утверждение 1. Если функция f(x) дифуференцируема в точке X =z а, то она непрерывна в этой точке.
Действительно, тогда Af ~ df = сАх, поэтому Af бесконечно мала при Ax —У 0, а значит, f(x) непрерывна в точке х = а.
Примеры. 1. Пусть f(x) =X2, а = 2,5. Тогда
(х) = (a + Ax)2 -а2 = 2аАх + (Ax)2, А/(2 ¦ 5) = 5Дх -I- (Ax)2, Ax = dx, df(x) = 2 adx, d/(2,5) = bdx.
2. Пусть f(x) = 3x - 1, a = 2. Тогда
A/(x) |e=2= /(2 + Ax) - /(2) = 3Ax = df{2) = Mx.
Дифференциал функции, если он существует, является линейной функцией приращения аргумента, поэтому его называют линейной частью приращения аргумента. Если f'{a) ф 0, то дифференциал в точке X = а называется еще главной частью приращения. Это название отражает свойство разности вида ?(Ax) = Af — df, которая есть о(Дх), а следовательно, и o(df), т.е.
A f-df = o{df).
Таким образом, эта разность является бесконечно малой более высокого порядка, чем df, и поэтому дифференциал df вносит при малых Ax главный вклад в значение приращения А/.
Легко привести пример функции /(х), непрерывной в точке X = O, но не дифференцируемой в этой точке (т.е. /(х) не цмеет дифференциала и производной в этой точке). Действительно, для функции
Г/ \ , . Г Х> если Х > °> f(x) = \х\ = <
^ —х, если x < U, имеем А(|х|) = |х + Ах| — |х|. Отсюда при ж = 0 получим
A(jx|) U=o-|Ах|.
Тогда
IAxI , |Ах|
—А—- 1 при Ax -)¦ O+, —1 -1 при Ax 0 , Ax Ax
Т. е. Iim ^Г^- не существует.
Дг~+0 ^x
Но все же правый и левый пределы в этом случае существуют. Они называются правой и левой производной функции.
Приведенный пример показывает, что непрерывная функция может и не иметь дифференциала. Для некоторого класса таких функций вводится более общее понятие односторонних производных.
