Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
74 Достаточность. Функция f(x) непрерывна справа и слева при X -» Xq. Тогда
V є>0 З S1=S1(E)X) V х: 0<х-хо<<*1 \f(x}~f{x0)\<e; З S2=S2(e)>0 V х: -<J2<x-x0<0 => \f{x)-f{x0)\<e.
Возьмем S = min($i ,S2). Тогда для любого є > 0 существет S > О такое, что при всех х: Jx — хо| < S имеем [/(х) — /{хо)| < ?, т.е. /(х) непрерывна в точке Xo- Утверждение доказано.
Пример. Пусть /(х) непрерывна в каждой точке отрезка [а,Ь]. Тогда функция
F(x)= ? cnf(n)-f(x) Yl
а<п<г а<п<х
тоже непрерывна в каждой точке отрезка [а, 6] (непрерывность в концевых точках отрезка понимается как непрерывность справа или слева).
Действительно, имеем: функция F(x) непрерывна при х —х0, где Xo — нецелое число, поскольку в некоторой окрестности этой точки G(x) = cnf(n), А(х) = Yl °п — постоянные. Пусть X0 —
a<n<x a<n<X
целое число. Тогда F(x0+) = lim F(x)= T c„/(n)-/(*„) T cn = F(x0),
X—Нот* ** с
a<n< X0 a<n<XQ
F(xo-) — lim F(x)= T cnf(n)~f(xo) Y] cn = F(x0).
I-Ho- *-—*
а<п<Го-1 а<п<г0-1
В силу предыдущего утверждения F(x) непрерывна в точке Х = X0.
Свойства непрерывных функций вытекают из соответствующих свойств пределов.
Пусть /, д непрерывны в точке X0. Тогда в точке X0 имеем:
а) C\f+ с2д непрерывна для всех сі.сгЄК;
б) fg непрерывна;
в) f /д непрерывна, если д(хо) ф 0;
г) если /(х0) ф 0, то существует S > 0 такое, что
/(х)/(хо)>0 V хЄ(х0-<*,х0+<*) (т.е. /(х) сохраняет знак);
75 д) f{x) ограничена в некоторой окрестности точки X0.
е) если f(x) непрерывна в точке xq, д(у) непрерывна в точке у0 = /(хо), то h(x) — g(f(x)) непрерывна в точке хо.
§ 2. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
Перечислим элементарные функции.
1. Р{х) — многочлен, Р{х) = OoXn -H----h Qn •
2. Рациональная функция f(x) = P(x)/Q(x), где Р(х), Q(x) — многочлены.
3. Показательная функция f(x) = ах, а > 0, а ф 1.
4. Степенная функция f(x) = ха = еа1пх.
5. Логарифмическая функция f(x) — IogeX, а > 0, аф 1.
6. Все тригонометрические функции.
7. Всевозможные суперпозиции всех этих функций.
Эти функции носят название элементарных потому, что только они рассматриваются в рамках элементарной математики. Описание их функциональных свойств существенным образом опирается на определение понятий показательной, степенной и логарифмической функций, а также на определения функций синус и косинус от вещественного аргумента. Следует сказать, что в элементарной математике свойства перечисленных функций устанавливаются, в основном, описательно, исходя из наглядных арифметических и геометрических соображений. В курсе математического анализа эти функции используются главным образом в качестве материала для применения общей теории, и мы могли бы оставаться на данной "наивной" точке зрения на них. Однако средства математического анализа позволяют дать вполне строгое определение всех основных элементарных функций. Для показательной, логарифмической и степенной функций это будет сделано нами сразу после изучения свойств монотонных функций. Несколько сложнее ситуация с тригонометрическими функциями, поскольку их определение должно опираться на понятие длины дуги окружности или на понятие степенного ряда, которые будут изучаться нами лишь во второй и третьей частях курса. Пока же, отвлекаясь от строгих определений и опираясь на основные функциональные свойства, мы докажем непрерывность показательной функции у = ах и функции у = sin х.
Утверждение 1. При любом хо Є функция у = ах непрерывна.
Доказательство. Пусть а > 1. Тогда надо доказать, что для любого є > 0 существует S = J(є) > 0 такое, что при всех х
76 с условием \х — аго| < S имеем jax — OjroI < є, или, что то же самое, jar-x0 _ < еа~Хо = Єї. Заметим, что можно ограничиться случаем E1 < 1. В качестве ?(е) мы возьмем число Ji = <їі(єі) > 0 такое, что из неравенства |x — хо| < следует неравенство Iar-10 — 1| < е\.
Далее положим 8(є) = Si(ei) = .
Имеем —< X — х.о < Так как a > 1, то
a~Sl < ах~х° < а*1, а'** - 1 < ах~х° -Ka6l-I.
Сначала докажем, что aSl — 1 < Єї. Положим
N =
IfSi а + Г > а +Єї' а
—
.'eI . . Єї . Єї.
а
+ 1 > — Єї
Тогда 1 /S1 > N, т.е. S1KlfN. Так как
IJV
(1 + еіГ > 1 N > 1 + єі — > a,
Єї
то
!+Є! > a1/JV > a'1.
Отсюда следует, что
M і ^ - -,-«Si 1
O01-Ke1, a 1 >
1 +єі
1 -
Єї
1 + Єї
> 1 - Є]
Окончательно имеем
-Єї < a~Sl - 1 < ax~r° - 1< а*1 - 1< ei
следовательно,
- 1| < Єї.
Тем самым доказана непрерывность /(ж) = ах в точке хо. Доказательство закончено.
77 Утверждение 2. Функция f(x) = sin х непрерывна в точке X0. Доказательство, Вспомним, что | sin ж | < |х|. Имеем
тогда
sin X — sin Xo =
X-Xo X + Xq
I sm —-— • cos —-—
< 2
X-X0
\х - Xol
Таким образом, для любого є > 0 положим = є, и получим
J sinX — sinXoj < є V X : \х — xq\ < є.
Следовательно, функция f(x) = sinx непрерывна. Эти утверждения можно записать так:
sin X = sin Xo -f е*{х), ах — аХа + /?(х),
где с*(х), ?{x) — бесконечно малые функции.
