Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
Yl «п Efc=O { г ) У*х1~ тоже абсолютно сходится и его члены можно
n=0 V«/
переставить произвольным образом. В силу этого имеем
OO П / \ OO OO / \ OO
А(Х) = EE ЙУ= E ** ? Q «Т-* = E Sb.
n=0 k=О 4 ' Jfc=O n-k \ ' Jc=O
OO /п\ / 00
где Ьк= E «п (, иг = F E »("- 1)--. • (П - к + 1)апх»-к n-к \К/ Vn=Jfc
OO
Тем самым мы установили, что разложение Yl ькUk функции А(х)
Jfc=O
в ряд Тейлора в точке Xi с условием |xi — Xoj — г tC Rq сходится абсолютно к сумме А(х) при всех |у| < R0 - г. Теорема б доказана. Введем следующее определение.
Определение 2. Функция А(х) называется аналитической в точке X = X0, если в некоторой окрестности этой точки она может быть представлена степенным рядом, т.е. ее рядом Тейлора.
Теорема 6 показывает, что в каждой точке внутри области сходимости степенного ряда его сумма А(х) является аналитической функцией. Заметим еще, что внутренность области сходимости всегда является интервалом, возможно, бесконечного радиуса, так что говорят об интервале сходимости степенного ряда.
Возможно, что при разложении суммы А(х) степенного ряда Ylan{z — хо)" в какой-либо точке X1 ф X0 из его области сходимости новый степенной ряд Yl bIІХ ~ Xl)n — А{х) будет иметь свой
414 интервал сходимости, выходящий за пределы прежнего интервала. Рассмотрим, например, разложение вида
_ 1 _ , _ _ 1 _ 1 1 _
А{Х) ~ Г+7 ~ 1 ~ * + ~ " ' ~ 2 + (х - 1} ~ 2 ' 1 4- (ж - 1.)/2 ~
- I „ 1 (g " 1J2 _ ~ 2 ~ 2 • 2 + 2 ¦ 22
Здесь разложение по степеням х имеет радиус сходимости Rq = I, а
по степеням (ж - 1) — радиус R^ — 2.
Определение 3. Метод распространения области определения аналитической функции путем ее разложения в степенной ряд в точке, не совпадающей с центром первоначальной области определения, называется принщіпом аналитического продолжения функции.
Особую ценность этот принцип приобретает при рассмотрении степенных рядов от комплексного аргумента. Дело в том, что формальная подстановка комплексного числа z = a+bi вместо вещественного х в степенной ряд ^«„(і-їо)" позволяет естественным образом распространить область определения функции Л(х) на точки комплексной плоскости. Для этого достаточно ввести понятие сходимости ряда, составленного из комплексных чисел. Самый простой способ сделать это состоит в Том, чтобы считать ряд ^((Irl + гЬп) сходящимся к комплексному числу А + Вг, если одновременно Yi an сходится к А и Yibn сходится к В. Можно очень просто показать, что для сходимости рядов с комплексными членами верен мажорантный признак Вейерштрасса. Но тогда если, например, ряд ^anX" сходится при некотором X = Xo ф О, ТО при всех Г С условием Г < jxo| ряд Yl Iа« I • г" тоже сходится. А если z = а + bi и \z\ = г, то сходится и ряд YianZn. Это значит, что область сходимости ряда ^an ^n содержит на комплексной плоскости С круг радиуса R = (xq| с центром в нуле. Используя принцип аналитического продолжения, можно определить значения аналитической функции и в других точках комплексной плоскости. Важно, что указанная процедура, по существу, дает в некотором смысле однозначное продолжение. Такой способ позволяет однозначно продолжить на комплексную плоскость все элементарные функции. Например, оказывается, что при вещественных а и Ь имеем
ea+ib = ea(cos6-f і sin 6).
Аналитические функции на комплексной плоскости играют очень большую роль в математике. Связанные с ними проблемы составляют содержание обширной ее области — теории функций комплексного переменного, знакомство с которой входит в отдельный курс.
Задача. Пусть f(x) — функция, бесконечно дифференцируемая на интервале (a, Ь). Обозначим через kn число решений уравнения /(n)(x) = 0. Пусть kn < С при некотором С и всех п Є N. Доказать, что функция /(ж) является аналитической на интервале (а, 6). Лекция 22
§ 9. БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
Определение 1. Рассмотрим числовую последовательность положительных чисел {6П}. Формальное бесконечное произведение всех ее членов
bi ¦ &2 ¦ &3 ¦ • -Ьп ¦' • .
называется бесконечным числовым произведением, или бесконечным произведением, или просто произведением.
Бесконечное произведение обозначается так:
OO
6i ¦ 6з - - - = П 6» =Hbn
П = 1
Определение 2. Конечное произведение Пп вида Пп = Ь\ • ¦ • Ьп называется n-м частичным произведением.
Определение 3. Если последовательность П„ сходится к числу П ф О (т.е. П > Oj, то бесконечное произведение называется сходящимся (к числу nj. Если П = 0, то это бесконечное произведение называется расходящимся к нулю, а если П +оо, то оно называется расходящимся к бесконечности. Если предела нет вообще, то оно называется просто расходящимся.
Утверждение 1 (необходимый признак сходимости бесконечного произведения). Если П6П сходится, то Ьп —у 1 при Tl —У OO.
Доказательство. Если П„ —> П ф 0, то > Пп п
Itn — ---> — = 1 при Tl —У оо.
Пп-1 П
Утверждение доказано.
Утверждение 2. Сходимость бесконечного произведения Ubn влечет за собой сходимость ряда In 6„, и наоборот, причем
OO
in Дбп = ^lnbn.
