Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
, ,, X-Xi j t?l
n+p
E a^)
fc=n + l
= T,.
В силу равномерной сходимости ряда aJitjO величина Ti при любом заданном значении є > 0 и достаточно большом п > п\(?) становится меньше, чем е. Поэтому при таких ті имеем |ДП| < ?. Полагая
OO
D(x) = и cMx) = Y ак(х) = D(x) — Ап(х), при тех же п и
А=п + 1
всех X € I, очевидно, имеем оценку
Idn(X)IKTl <є.
Далее, функция Лп(х) дифференцируема при любом х, поэтому
АЛп(х)
Dn =
> оо
= Afl(Xi) + 7п(х),
405 где 7п(я) О при любом фиксированном п и х —> х\.
Зафиксируем теперь какое-либо п > по(е), например n = п0{?) + 1, и выберем число > 0 так, чтобы при данном п и всех х с условием О < \х — хо| < S(e) выполнялось неравенство 7п(я) < Тогда для всех таких X имеем
А А{х) Ax
-D(X1)
= \Dn + Rn- ?>(*i)i
= Hn(X1) + 7n(*) + Rn - D(xi)\ = |7„(ac) - <M*i) + Д„| < Зє,
OO
а это значит, что АА(х)/Ах —> Z)(xi) при Ax —> О или А'(х) = Л а'п{х)-
п=1
Теорема 3 доказана полностью. Лекция 22
§ 7. ДВОЙНЫЕ И ПОВТОРНЫЕ ПРЕДЕЛЫ ПО БАЗЕ
МНОЖЕСТВ
Встречавшиеся ранее примеры равенства повторных пределов различных типов ясно подсказывают целесообразность выработки возможно более общего взгляда на этот вопрос. Здесь мы рассматриваем его в связи с еще одним понятием — понятием предела по совокупности двух баз. Нам потребуется ряд новых определений.
Определение 1. Пусть функция /(х, у) определена на декартовом произведении XxY двух множеств X и Y, т.е. на множестве всех пар (х, у), где X Є X и у 6 Y. Пусть на множестве X задана некоторая база В. Будем говорить, что функция f(x,y) сходится к функции д(у) по базе В равномерно на множестве Y, если для всякого є > 0 найдется окончание 6(e) Є В такое, что при всех х Є Ь(є) независимо от у Є Y справедливо неравенство \f(x,y) — д(у)\ < є. • В этом случае будем писать:
в
Рассмотрим теперь базу D = {d}, заданную на множестве Y.
Определение 2. Если f(x,y) сходится к д(у) по базе В, а функция
д(у) сходится к Z1 по базе D, то число Ii назовем повторным
пределом функции f(x, у) по базам BhD. Этот предел будем
обозначать символом limlim f(x, у) = Ii-
D В
Изменяя порядок выполнения предельных переходов, можно рассматривать еще один повторный предел, а именно, limlim f(x, у) = I2.
В D
Далее введем понятие двойного предела по базам BnD.
Определение 3. Рассмотрим в качестве основного множества декартово произведение XxY, состоящее из всевозможных пар {х,у), где X Є X и у Є Y, и рассмотрим определенную на нем базу H, составленную из всех возможных сочетаний k вида h = b х d, где b Є В и d Є D. Эту базу будем называть декартовым произведением баз В и D и обозначать: H = BxD.
Легко убедиться в том, что множество H действительно образует базу множеств. В самом деле: 1) каждый ее элемент k = b х d, очевидно, не пуст и 2) пересечение любых двух ее элементов h\ П h2 = = (Ь\ X oil) П (62 X d2) содержит некоторый третий элемент /із = 63 X С?з, где окончания 63 Є В и ds Є D удовлетворяют условиям 63 С П Ь2 и (із С di П d2.
407 Теоремаї (теорема о двойном и повторном пределах по базам
В D
множеств). Пусть f(x, у) F1(у) и f(x, у) —> F2(X). Тогда существуют оба повторных предела:
lim lim fix, у) = h, lim lim f(x ,у) =I2 DB BD
и двойной предел по базе H = BxD:
lim f(x,y) = /3,
л
причем Ii = I2 = Is.
Доказательство. Пусть є > 0 произвольно.
в
Поскольку Z(a^y) Fi (у), существует окончание Ь = 6(є) 6 В такое, что при всех X Є 6(e) и при всех у Є Y справедливо условие \f(x,y) — Fi(у)I < є/З. Зафиксируем какое-либо х = хо Є Ь(є). В силу
условия f(xо, у)F2(Xq) найдется окончание d = d(e) € Dy для всех точек Уі и у2 которого имеем IZ(Xo1Vl)-Z(SO1Jfe)I < є/З. Но тогда при тех же у\ и у2 справедливо неравенство
(Fi (г/і) — Fi(y2) \ =
- !(F1 Ы - Z(*o, Vi)) + (f(xо, Vi) - f(xo,y2)) + №<h Ы - F1(V2))! < < l^i(vi) - Z(®o,Vi)| + |/(*о,Уі) - Z(«o, 2/2)1 + |Z(®o,|tt) - F1(JZ2)I <
< ?/3 + ?/3 + ?/3 = ?. По критерию Коши отсюда следует, что прй некотором I имеем
jD . . H
F1(V)-W, т.е. limlimZ(#,v) — Теперь покажем, что f(x,y)^l,
D В
D
где H = BxD. Поскольку Fi(y)-*l, для любого є > 0 найдется
окончание d = d(e) EDc условием \Fi(y) — < є/2 при всех у Є d(e).
в
Далее, в силу того, что f(x, у) Fi(у), найдется окончание Ь(є) с
условием If(x,y) — F1(^)I < є/2 при всех х Є 6(є) и у € У- Возьмем теперь в качестве h ~ h(e) € Я окончание /і(є) = Ь(є) х d(e). Тогда для всех его элементов (х,у) имеем неравенство
|Z(x,v) - / | < \f (х, у) ~ F1(V)I + IF1(JZ) - / | < є/2 + є/2 < є.
Это значит, что f(x,y)—^l.
g
Осталось доказать, что F2(X)^-L Для этого в неравенстве
\f(x>y) - F1 (у)I < є/2,
408 справедливом при всех (ж, у) Є h(e) = Ь(е) х <i(e), при каждом фиксированном ж рассмотрим предел по базе D. Тогда получим
|F2(x)-/|<e/2<e. ?
Это и означает, что F2(X)->1. Теорема 1 доказана.
Профессор Т. П. Лукашенко обратил внимание на критерий существования и равенства повторных пределов по совокупности двух баз BnD, доказанный Р. А. Гордоном [32] в 1995 г. Это утверждение обобщает соответствующий критерий А. А. Маркова (1856 - 1922) для повторных рядов.
