Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 1. Для того чтобы bn (ж) 0 при п —> оо, необходимо
M
и достаточно, чтобы существовала числовая последовательность ?n с условием ?n —> О при п —> оо и \Ьп(х)\ < ?n для каждого п Є N и для всех X Є М.
Доказательство. Достаточность. Пусть такая последовательность ?n существует. Тогда для любого є > О существует номер по ~ по(е) такой, что для каждого п > щ справедлива оценка
?n < Є.
Но тогда при тех же п и всех х Є M имеем |6n(x)j < ?n < е, т.е.
6n(x)z^0 при п —> оо.
' M
Необходимость. Пусть 6п(х)=?0. Положим ?n — sup |&n{x)|. IIo-
м x ?м
скольку для любого ? > О существует номер по — п0(е) такой, что для каждого п > п0 справедливо неравенство |6п(х)| < е, при тех же п имеем ?n = sup |6„(ж)| < є. Это значит, что ?n —^ О при п —> оо.
х?М „
Теорема 1 полностью доказана.
Замечание. Последовательность ?n в доказанной теореме называется мажорантой для bn (ж). и утверждение этой теоремы означает, что равномерная сходимость бесконечно малой функциональной последовательности равносильна существованию бесконечно малой ее мажоранты.
Теперь рассмотрим признак Вейерштрасса для равномерной сходимости функционального ряда.
396 Определение 1. Сходящийся ЧИСЛОВОЙ ряд YllPn с условием Pn > О при всех п называется мажорантой функционального ряда J]] аГі(г) на множестве М, если для каждого п Є N и всех х Є M справедлива оценка |an(z)j < рп ¦ Говорят также, что ряд Yan(x) мажорируется рядом Y Pn яа множестве М.
Теорема2 (признак Вейерштрасса). Пусть функциональный
ряд
Y (iTiix) яа множестве M имеет мажоранту Y Pn- Тогда он равномерно
сходится на этом множестве.
Доказательство. Достаточно установить, что остаток ряда гп(х) равномерно сходится к нулю на М. Но заметим, что при любом фиксированном х Є M числовой ряд сходится, поскольку
имеет мажоранту Y Pn = P- Кроме того, при каждом фиксированном X имеем
Гп(ж)| =
оо
Yl an^
OO OO
< Y ia"(®)i ^ Yl Pk-P*
fc=n+l k~n+1
где Pn — остаток ЧИСЛОВОГО ряда Y Pn и Pn О при П —> ОС'- Но по
теореме 1 это означает, что Tn (ж) имеет бесконечно малую мажоранту
рп. Следовательно, гп(х)=?0. т.е. ряд Y ап (х) равномерно сходится.
M '
Теорема 2 доказана.
Теорема 3.
(А) (признак Абеля). Пусть:
V Y°nH=*A(x); м
2) последовательность bn(x) равномерно ограничена на Al;
3) при всех фиксированных х Є M числовая последовательность Ьп(х) монотонна.
Тогда ряд Yhn{z)> hn(x) — an(x)bn(x), равномерно сходится на М. (Д) (признак Дирихле). Пусть:
1) частичные суммы -An (ж) равномерно ограничены на M;
2) bn (х) О при п —> оо;
M
3) при всех фиксированных х Є M числовая последовательность Ьп(х) монотонна,
Тогда ряд Y ^n[х), hn (ж) = an(x)bn(x), равномерно сходится на М.
Доказательство. Применим ту же схему, что и при доказательстве одноименных признаков для числовых рядов. Как и раньше, сначала будем считать, что последовательность bn(x) убывает и bn(x) > О для каждого п € N. Применяя преобразование Абеля к частичным суммам ряда Yhn{x) и используя обозначения
к к Hk{x) = Yl hm{x), Ак{х) = Y2 arn^
m=n+l m=?i + l
397 для отрезков рядов и 1С flTi(aO) получим
п+р fcssn + l
п+р-1
An+P(z)bn+P(x) + E Ак(х)(Ьк(х) - Ьк+1(х))
k=n+1
<
п+р-1
< іХ+рИІ^+рО*) + S«P \А'к\ E (М*)~ 6fc + l(*)) =
п<*<п+р
• = 6„+l(x) SUp
n<fc<n+p
Рассмотрим случай (А). В силу равномерной сходимости ряда ап (я) и согласно критерию Коши для любого є > 0 существует номер по = п0(е) такой, что для каждого к > по справедливо неравенство
sup j < є.
тем
Кроме того, в силу равномерной ограниченности Ьп(х) при некотором
С > 0 для каждого п Є N и для всех х Є M имеем 6п(х) < С.
Следовательно, при п > по справедлива оценка |#р(х)| < Ce.
В силу произвольности є > 0 это означает выполнение условия
критерия Коши для равномерной сходимости ряда E ^n т.е. в
случае (А) теорема доказана.
Рассмотрим теперь случай (Д). При этом в силу равномерной
ограниченности сумм Ак(х), а вместе с ними и Ак(х) = Ак(х) — Л„(х)
найдется число С > 0 такое, что |Afe(x)| < С при всех к Є N и всех
X Є М. По критерию Коши при достаточно большом п > no(f) в силу
п. 2 имеем 6п(х)=}0 при п -у оо. Тогда получим |6„+i(x)| < е, откуда,
Af
как и раньше, получим |#р(х)| < Ce. Тем самым утверждение (Д) тоже доказано.
Осталось освободиться от ограничений: 1) последовательность Ьп(х) убывает; 2) &„(х) > 0 при всех п. Для того чтобы снять ограничение 1), можно поменять знаки на противоположные у всех функций а„(х) и Ьп(х) одновременно. Тогда условие возрастания Ьп(х) переходит в условие убывания Ьп(х), а все условия на ряд ?ап(х) сохраняются. Чтобы освободиться от ограничения 2), рассмотрим функцию &о(я), где
bo{x) = infbn(х) = Iim Ьп(х).
> оо
398 Тогда bn(x) = Ь0('ж) + ?n(z), где ?n(x) > О Ух Є M и ?n(x) убывает. Отсюда
ап{х)Ьп (л?) = Ь0(ж) E а"(х) + E йп(х^n ¦
В случае (Д) первое слагаемое равно нулю, а в случае (А) оно представляет собой равномерно сходящийся ряд. Второй же ряд удовлетворяет условиям теоремы и обоим сделанным выше допущениям. Тем самым теорема 3 доказана полностью.
