Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Совершенно аналогично, отправляясь от (га — 1)-мерного многогранника Q, можно определить га-мерную призму и га-мерную пирамиду.
Вообще га-мерный многогранник есть часть /г-мерного пространства, ограниченная конечным числом кусков (га — 1)-мерных плоскостей; А-мерный многогранник есть часть &-мерной плоскости, ограниченная конечным числом кусков (к — 1)-мерных плоскостей. Грани многогранника сами являются многогранниками меньшего числа измерений.
Теория /г-мерных многогранников представляет собой богатое конкретным содержанием обобщение теории обычных трехмерных многогранников. В ряде случаев теоремы о трехмерных многогранниках обобщаются на любое число измерений без особого труда, но встречаются и такие
симплекс: (т — 1)-мерную грань данного n-мерного симплекса. Число (т —• 1)-мерных граней n-мерного симплекса равно поэтому числу сочетаний из всех п+1 его верпша по т, т. е. равно
Гт == (» + 1)1
п+1 ml(n — m + 1)!
Рис. 26. § 7. Многомерное пространство
141
вопросы, решение которых для га-мерных многогранников представляет огромные трудности. Здесь можно упомянуть глубокие исследования Г. Ф. Вороного (1868—1908), возникшие, кстати сказать, в связи с задачами теории чисел; они были продолжены советскими геометрами. Одна из возникших задач — так называемая «проблема Вороного» — все еще не решена полностью 1.
Примером, на котором обнаруживается существенная разница между пространствами разных измерений, могут служить правильные многогранники. На плоскости правильный многоугольник может иметь любое число сторон. Иными словами, имеется бесконечно много разных видов правильных «двумерных многогранников». Трехмерных правильных многогранников всего пять видов: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр. В четырехмерном пространстве есть шесть видов правильных многогранников, но уже в любом пространстве большего числа измерений их всего три. Это: 1) аналог тетраэдра — правильный n-мерный симплекс, т. е. симплекс, все ребра которого равны; 2) га-мерный куб; 3) аналог октаэдра, который строится следующим образом: центры граней куба служат вершинами этого многогранника, так что он как бы натягивается на них. В случае трехмерного пространства это построение Рис. 27. произведено на рис. 27. Мы видим, что в отношении правильных многогранников двух, трех и четырехмерные пространства занимают особое положение.
6. Рассмотрим еще вопрос об объеме тел в га-мерном пространстве. Объем га-мерного тела определяется аналогично тому, как это делается в обычной геометрии. Объем — это сопоставляемая фигуре численная характеристика, причем от объема требуется, чтобы у равных тел были равные объемы, т. е. чтобы объем не менялся при движении фигуры как твердого целого, и чтобы в случае, когда одно тело сложено из двух, его объем был равен сумме их объемов. За единицу объема принимается объем куба с ребром, равным единице. После этого устанавливается, что объем куба с ребром а равен а". Это делается так же, как на плоскости и в трехмерном пространстве, путем заполнения куба слоями из кубов (рис. 28). Так как кубы укладываются по га направлениям, то это и дает а".
Чтобы определить объем любого га-мерного тела, его заменяют приближенно телом, сложенным из весьма малых л-мерных кубов, подобно
1 Речь идет об отыскании таких выпуклых многогранников, которыми можно заполнять пространство, прикладывая их друг к другу параллельно по целым граням. Для случая трехмерного пространства эта задача была поставлена и решена в связи с потребностями кристаллографии Федоровым; Вороной и его последователи продвинули ту же задачу для га-мерного пространства, но окончательно решена она только для пространств двух, трех и четырех измерений. 142
1 лава XVII. Абстрактные пространства
тому, как на рис. 29 плоская фигура заменяется фигурой из квадратиков. Объем тела определяется как предел таких ступенчатых тел при безграничном измельчении составляющих их кубиков.
Совершенно аналогично определяется A-мерный объем A-мерной фигуры, лежащей в какой-нибудь A-мерной плоскости. Из определения объема легко выводится важное его свойство: при подобном увеличении тела, когда все его линейные размеры увеличиваются в X раз, А-мерный объем увеличивается в Ik раз.
Рис. 28. Рис. 29.
Если тело разбить на параллельные слои, то его объем представляется как сумма объемов этих слоев
V = ZVi.
Объем каждого слоя можно приближенно представить как произведение его высоты Дh{ на (п — 1)-мерный объем («площадь») соответствующего сечения St. Б результате объем всего тела приближенно представится суммой
Переходя к пределу при всех Дh( 0, получим представление объема в виде интеграла
н
F = J S(h)dh, (9)
о
где H — протяжение тела в направлении, перпендикулярном проводимым сечениям.
Все это совершенно аналогично вычислению объемов в трехмерном пространстве. Например, у призмы все сечения равны, и, следовательно, их «площадь» S не зависит от h. Поэтому для призмы V = SH, т. е. объем призмы равен произведению «площади» основания на высоту. Определим еще объем re-мерной пирамиды. Пусть дана пирамида с высотой H и площадью основания S. Пересечем ее плоскостью, параллельной основанию, на расстоянии h от вершины. Тогда отсечется пирамида высоты Л. Площадь ее основания обозначим через s(h). Эта мень- § 7. Многомерное пространство
