Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
3. В 1872 г. Клейн в лекции, прочитанной в университете в Эрлан-гене и известной поэтому под названием Эрлангенской программы, суммируя результаты развития проективной, аффинной и других «геометрий», четко сформулировал общий принцип их построения, именно: можно рассматривать любую группу взаимно однозначных преобразований пространства и исследовать те свойства фигур, которые сохраняются при преобразованиях этой группы1.
С этой точки зрения свойства пространства как бы расслаиваются по их глубине и устойчивости. Обычная эвклидова геометрия была создана путем отвлечения от всех свойств реальных тел, кроме геометрических; здесь, в специальных разделах геометрии, мы как бы совершаем еще одно абстрагирование уже внутри геометрии, отвлекаясь от ряда геометрических свойств, кроме определенного их круга, интересующего нас в данной отрасли.
По указанному Клейном принципу можно строить много геометрий. Например, можно рассматривать преобразования, сохраняющие углы между любыми линиями (конформные преобразования пространства), и, исследуя сохраняющиеся при таких преобразованиях свойства фигур, говорить о соответствующей конформной геометрии. Можно рассматривать преобразования не обязательно всего пространства. Так, рассматривая точки и хорды круга при всех его преобразованиях в себя, переводящих хорды в хорды, и выделяя свойства, сохраняющиеся при таких преобразованиях, мы получаем геометрию, которая, как было показано в §§ 4 и 5, совпадает с геометрией Лобачевского.
4. Развитие выделившихся таким образом теорий даже с принципиальной стороны (не говоря уже о фактическом содержании) не остановилось на том, что здесь было сказано.
Интересуясь, например, только аффинными свойствами фигур, мы можем, отвлекаясь от всех других свойств, мыслить себе пространство,
3 Слово «группа» используется здесь не просто в собирательном смысле. Говоря о группе преобразований (см. главу XX), имеют в виду такую совокупвость преобразований, в которой заведомо содержится тождественвое ирообрааовавие (оставляющее все точки на месте), где варяду с каждым нетождественным преобразованием имеется и ему обратное (возвращающее все точки на прежнее место) и где вместе с каждыми двумя преобразованиями этой совокупности содержится и пре-обраяовавие, равносильвое этим двум, последовательно произведенным. 128
1 лава XVII. Абстрактные пространства
а также геометрические фигуры в нем, обладающими только интересующими пас свойствами и как бы вообще не имеющими никаких других свойств. В этом «пространстве» фигуры вообще не будут иметь никаких других свойств, кроме аффинных. Естественно будет пытаться геометрию такого абстрактного пространства тоже излагать аксиоматически, т. е. считать, что речь идет о некоторых отвлеченных объектах: «точках», «прямых», «плоскостях», свойства которых (этих свойств будет, очевидно, меньше, чем в случае эвклидовой геометрии) указываются в некоторых аксиомах, причем выводимые из этих аксиом следствия будут соответствовать аффинным свойствам фигур обычного пространства.
Это действительно удается сделать; п такую совокупность абстрактных «точек», «прямых» и «плоскостей» с системой их свойств называют
аффинным пространством.
Точно так же можно мыслить себе !абстрактную систему объектов, обладающих только тем кругом свойств, которые соответствуют проективным свойствам фигур эвклидова пространства. (На этот раз отличие системы аксиом от аксиом обычной геометрии оказывается еще более существенным.) природу геометрических образов, можно заметить, что в целом ряде вопросов играют роль свойства, еще более глубокие, чем проективные, и настолько прочно связанные с данной фигурой, что они сохраняются при любых искажениях фигур, если только эти искажения не приводят к разрыву или склеиванию частей фигуры. (Желая уточнить представление о таком непрерывном искажении, можно, кроме наглядного описания, сослаться на известное нам из анализа определение непрерывной функции и сказать, что речь идет о любом преобразовании-всех точек фигуры в новое положение, при котором декартовы координаты точек в новом положении выражаются непрерывными функциями их прежних координат, а старые координаты в свою очередь могут быть выражены как непрерывные функции новых.)
Свойства фигур, сохраняющиеся при любых таких преобразованиях, называются топологическими, а наука, изучающая их, — топологией (см. главу XVIII).
Тесно связанные с фигурами топологические свойства для простейших фигур отличаются исключительной наглядностью. Почти очевидно, например, что на плоскости всякая линия, которую можно получить, непрерывно деформируя окружность, разбивает плоскость на две части, лежащие внутри и вне этого, сколь угодно извилистого конт\ра; поэтому
Рис. 19.
5. Если дальше углубляться в § 6. Выделение геометрических теорий иа эвклидовой геометрии
129
свойство окружности делить плоскость — топологическое. Наглядно, пожалуй, очевидно, что поверхность тора (рис. 19) никак нельзя превратить непрерывным преобразованием в сферу, поэтому свойство какой-либо поверхности допускать непрерывное преобразование, скажем в поверхность тора, будет ее топологическим свойством, отличающим ее от многих других поверхностей.
