Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Далее, если даны два цвета, скажем красный К и белый В, то, смешивая их в разных пропорциях2, получим непрерывную последовательность цветов от К до Б, которую можно назвать отрезком КБ. Представление о том, что розовый цвет лежит между красным и белым, имеет ясный смысл.
Таким образом, возникает понятие о простейших геометрических фигурах, и отношениях в «пространстве цветов». «Точка» есть цвет, «отрезок» AB — совокупность цветов, получаемых смешением цветов А и В\ то, что «точка D лежит на отрезке AB», означает, что цвет D есть смесь цветов А и В. Смешение трех цветов дает кусок плоскости— «цветовой треугольник». Все это можно также описать аналитически, пользуясь координатами цветов х, у, z, причем формулы, задающие цветовые прямые и плоскости, будут вполне аналогичны формулам обычной аналитической геометрии3.
] Речь идет об ощущении цвета, а не о свете. Ощущение цвета есть также объективное явление — реакция на свет. Одно и то же ощущение может вызываться разными световыми волнами. Так, например, зеленый цвет может получаться не только от спектрально чистого зеленого света, но также и от смешения красного и синего. С другой стороны, у людей, страдающих «цветной слепотой» (дальтонизмом), есть только два основных ощущения; случаи «полной цветной слепоты», когда есть только одно основное ощущение цвета, крайне редки.
2 Такое смешение можно получить, смешивая н разных пропорциях очень тонкие цветные порошки, при условии, что освещение остается неизменным.
3 Например, если цвета Ц0 и Ці определяются интенсивностями—координатами х0, 2/0, Z0 и X1, у1г то цвет Ц, лежащий между Ц0 и Ци имеет координаты * = (1 — 0 aO + txU У = (1 — 0 Уо + tyi, -2 = (1-0? + Iz1, где t есть доля цвета If1, а (1 — t) — доля цвета Zfo в смеси, образующей цвет Ц.
10 Зак. № 812 146
1 лава XVII. Абстрактные пространства
В пространстве цветов выполняются соотношения эвклидовой геометрии, касающиеся расположения точек и отрезков. Учение об этих отношениях образует аффинную геометрию, и можно сказать, что в совокупности всех возможных цветовых ощущений реализуется аффинная геометрия. (Это, правда, не вполне точно, потому что, как уже сказано, координаты цвета ж, у, ъ не могут быть отрицательными. Поэтому пространство цветов отвечает только той части пространства, где в данной системе координат все координаты точек положительны или нули.)
Далее, мы имеем естественное представление о степени различия цветов. Так, например, понятно, что бледнорозовый ближе к белому, чем густой розовый, а малиновый ближе к красному, чем синий, и т. д. Таким образом, мы имеем качественное понятие о расстоянии между цветами, как о степени их различия. Этому качественному понятию можно дать количественную меру. Однако определять расстояние между цветами так же, как
в эвклидовой геометрии по формуле Г— yj(x0-^i)2 "Ь(Уо-Уі)24"(20-2l)2>
оказывается неестественным. Так определяемое расстояние не соответствует реальному ощущению; при таком определении получалось бы в ряде случаев, что два цвета, в разной степени отличные от данного, находились бы от него на одном расстоянии. Определение расстояния должно отображать реальные отношения между цветовыми ощущениями.
Руководствуясь этим, в пространстве цветов вводят особое измерение расстояний. Делают это следующим образом.
При непрерывном изменении цвета человек не сразу ощущает это изменение, а лишь тогда, когда оно достигает известной степени, доходя до так называемого порога различения. В связи с этим считают, что все цвета, находящиеся от данного как раз на пороге различения, равноудалены от него. Тогда, само собой, приходим к тому, что расстояние между любыми двумя цветами нужно измерять наименьшим числом порогов различения, которое только можно проложить между ними. Длина цветовой линии измеряется числом укладывающихся на ней таких порогов. Расстояние между двумя цветами определяется длиной самой короткой соединяющей их линии. Это сходно с тем, как расстояние двух точек на поверхности измеряют длиной самой короткой соединяющей их линии.
Таким образом, измерение длин и расстояний в цветовом пространстве производится очень малыми, как бы бесконечно малыми шагами.
В результате в пространстве цветов определяется некоторая своеобразная неэвклидова геометрия. Эта геометрия имеет вполне реальный смысл: она описывает на геометрическом языке свойства совокупности всевозможных цветов, т. е. свойства реакций глаза на световое раздражение.
Понятие о цветовом пространстве возникло около ста лет назад. Геометрию этого пространства изучали многие физики, из которых можно назвать, например, Гельмгольца и Максвелла. Эти исследования продол- § 8. Обобщение предмета геометрии
147
жаются; они имеют не только теоретическое, но и практическое значение. Они дают точную математическую оснрву для решения вопросов о различении цвета сигналов, о красках в текстильной промышленности и др.
2. Рассмотрим другой пример, о котором уже говорилось в предыдущем параграфе.
Пусть мы изучаем какую-либо физико-химическую^ систему, как то: смесь газов, сплав и т. п. Пусть состояние этой системы определяется п величинами (так, состояние газовой смеси определяется давлением, температурой и концентрациями составляющих ее компонентов). Тогда говорят, что система имеет га степеней свободы, выражая этим, что ее состояние может меняться, так сказать, в га независимых направлениях с изменением каждой из определяющих это состояние величин. Эти величины, определяющие состояние системы, играют как бы роль его координат. Поэтому совокупность всех ее состояний рассматривают как га-мерное пространство — так называемое фазовое пространство системы.
