Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Докажем теперь, что второе утверждение также выполняется в нашей модели. Согласно смыслу этого утверждения нужно доказывать следующее.
Пусть А, А! — две точки внутри круга; а, а! — исходящие из них отрезки хорд; х, а' — части круга, ограниченные этими хордами. Для ясности мы изображаем эти точки, хорды и части круга на двух разных чертежах (рис. 16), хотя, конечно, они лежат в одном рассматриваемом круге. Утверждается, что «движение», переводящее соответственно А в А', а в а', а в а', — единственное, т. е. оно вполне определяется этими данными.
При доказательстве мы будем рассматривать преобразование не только данного круга, но всей плоскости«Движение», согласно определению, переводит прямые в прямые. Преобразование, обладающее таким свойством, называется проективным. Стало быть, можно сказать, что «движением» у нас считается проективное преобразование, переводящее данный круг сам в себя. (На рис. 16 мы изображаем это так, что круг К переходит в круг К'. Нужно только параллельным переносом мысленно наложить круг К' на К.)
1 Можно доказать, что преобразование круга в себя, переводящее прямые в прямые, однозначно распространяется с сохраневием этого свойства на всю проективную плоскость, т. е. плоскость с присоединением бесконечно удаленных точек.
в
г,
Kf
Рис. 16. § д. Аксиомы геометрии, их проверка для указанной, модели 123
Проективные преобразования были рассмотрены в главе III (том 1), § 12, и здесь мы воспользуемся следующей доказанной там важной теоремой: проективное преобразование вполне определяется тем, куда переходят четыре точки, не лежащие по три на одной прямой.
Обратимся к рассматриваемому «движению». Оно переводит отрезок хорды а в а', а поэтому переводит точку В в В'. Так как оно переводит хорды в хорды, то оно переводит также точку С в С'.
Далее, так как «движение» вообще переводит прямые в прямые и данный круг сам в себя, а в нашем изображении круг К — в круг К', то касательные в точках BaC переходят в касательные в точках В' и С'. Поэтому точка D пересечения первых касательных переходит в точку D' пересечения вторых касательных1 (рис. 16).
Так как точка А к тому же переходит в А' и прямые переходят в прямые, то прямая AD переходит в прямую A'D'. Прямая AD пересекает окружность нашего круга в точках Е, F7 а прямая A'D' пересекает ее в точках E', F'. (На чертеже эти точки лежат на окружностях К и К'.) Так как круг переходит сам в себя, то точки Е, F переходят в точки E', F'. Пусть точка E лежит на дуге, ограничивающей часть a, a E' — на дуге, ограничивающей часть а'. Тогда, поскольку а по условию переходит в а', то E переходит именно в E' и соответственно F в F'.
Итак, мы получили, что при рассматриваемом «движении» точки В, С, Е, F на окружности переходят в точки В', С', E', F'. Точки В, С, Е, F, так же как, очевидно, и точки В', С', E', F', не лежат по три на одной прямой. Поэтому, согласно приведенной выше теореме, проективное преобразование, переводящее В, С, Е, F в В', С', E', F', — единственное. Но «движение» и есть проективное преобразование. Стало быть, наше «движение», переводящее А, а, а в А', а', а', единственное, что и требовалось доказать.
Таким образом, мы доказали, что в рассматриваемой модели действительно выполняются все аксиомы эвклидовой геометрии, кроме аксиомы параллельности, или, иными словами, что в модели выполняются все аксиомы геометрии Лобачевского. Модель, следовательно, на самом деле реализует геометрию Лобачевского. Эта геометрия как бы сведена к геометрии Эвклида внутри круга, изложенной особым образом, с тем условным пониманием терминов «прямая» и «движение», которое принято в модели. Кстати, это позволяет уже развивать геометрию Лобачевского на данной конкретной модели, что во многих вопросах оказывается более удобным.
С точки зрения логического анализа оснований геометрии приведенное доказательство показывает, во-первых, что геометрия Лобачев-
1 Если, например, касательные в точках BsC параллельны, то точка D' есть «бесконечно удаленная». 124
Глава XVII. Абстрактные пространства
ского непротиворечива, а во-вторых, что постулат о параллельных заведомо не может быть выведен из перечисленных выше остальных аксиом.
§ 6. ВЫДЕЛЕНИЕ САМОСТОЯТЕЛЬНЫХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕОРИЙ
1. Принципиальное развитие геометрии параллельно с созданием геометрии Лобачевского шло еще по другому пути. В богатстве всех геометрических свойств пространства выделялись и подвергались самостоятельному изучению отдельные группы свойств, отличающиеся своеобразной замкнутостью и устойчивостью. Такие, обособленные по своим методам, исследования составили новые главы геометрии — науки о пространственных формах, подобно тому, как, например, анатомия или физиология составляют различные главы науки об организме человека.
Первоначально геометрия вообще не расчленялась. Она изучала главным образом метрические — связанные с измерением размеров фигур — свойства пространства. Лишь попутно рассматривались обстоятельства, связанные не с измерением, а с качественным характером взаимного расположения фигур, причем уже давно замечали, что часть таких свойств отличается своеобразной устойчивостью, сохраняясь при довольно существенных искажениях формы и изменениях положения фигур.
