Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
то множество E называется измеримым, а число. реЕ — его мерой: рЕ = у.еЕ; если соотношение (3) не удовлетворяется, то говорят, что множество E неизмеримо; неизмеримое множество не имеет меры. 28
Глава XV. Теория, функций действительного переменного
Отметим, что всегда
[ле E + ;ле CE ^ Ъ — а.
(4)
Сделаем несколько пояснений. Длина простейших множеств (например, интервалов и отрезков) обладает рядом замечательных свойств. Укажем важнейшие из них.
1. Если множества E1 и E измеримы и E1QE, то
т. е. мера части множества E не превосходит меры всего множества Е.
2. Если множества E1 и E2 измеримы, то множество E = E1-^-Ei измеримо и
т. е. мера суммы не превосходит суммы мер слагаемых.
3. Если множества Ei (і = 1, 2,...) измеримы и попарно не пере-
т. е. мера конечной или счетной суммы попарно непересекающихся множеств равна сумме мер слагаемых.
Это свойство меры называется ее полной аддитивностью.
4. Мера множества E не меняется, если его сдвинуть как твердое тело.
Желательно, чтобы основные свойства длины сохранялись и для более общего понятия меры множеств. Но, как можно совершенно строго показать, это оказывается невозможным, если приписывать меру произвольному множеству точек на прямой. Поэтому-то в данном выше определении и появляются множества, имеющие меру или измеримые, и множества, не имеющие меры или неизмеримые. Впрочем, класс измеримых множеств настолько широк, что это обстоятельство не вносит каких-либо существенных неудобств. Даже построение примера неизмеримого множества представляет известные трудности.
Приведем несколько примеров измеримых множеств.
Пример 1. Мера канто рова совершенного множества P (см. § 4). При построении множества P из отрезка [0, 1] выбрасывается сперва один смежный интервал длины 1J3, затем два смежных интервала длины 1I9, затем четыре смежных интервала длины 1J3n и т. д.
Вообще, на п-м шаге выбрасывается 2"—1 смежных интервалов длины .
Таким образом, сумма длин всех выброшенных интервалов равна
U-E1 < и.Е,
[л (E1 + ?,)< ^E1 + ^j
° — з -Г 9 -+- 27 ^ • • • ^ з» • • •
1
2«-і § 5. Мера множеств
29
Члены этого ряда представляют собою геометрическую прогрессию с первым членом 1I3 и знаменателем 2/з- Поэтому сумма ряда S равна
1
Итак, сумма длин всех смежных к канторовому множеству интервалов равна 1. Иначе говоря, мера дополнительного к P открытого множества G равна 1. Поэтому само множество имеет меру
?л/> = 1 — v.G = l —1 = 0.
Как показывает этот пример, множество может иметь мощность континуума и тем не мепее иметь меру, равную пулю.
Пример 2. Мера множества R всех рациональных точек отрезка [0, 1]. Покажем прежде всего, что ;леЛ = 0. В § 2 было установлено, что множество R счетно. Расположим точки множества R в последовательность
'"l» ' ' " » 'п' ' ' •
Далее, зададим е > 0 и окружим точку г„ интервалом Sb длины -Jr.
Сумма & = есть открытое множество, покрывающее R. Интервалы могут пересекаться, поэтому
Так как е можно выбрать сколь угодно малым, то ^tR = 0. Далее, согласно (3)
т. е. y-eCR^l. Так как CR содержится в отрезке [0, 1], то Итак,
u-eR + ^CR = 1,
откуда
-Л? = 0, ILCR = I (5)
Этот пример показывает, что множество может быть всюду плотным на некотором отрезке и тем не менее иметь меру, равную нулю.
Множества меры нуль во многих вопросах теории функций не играют никакой роли, и ими следует пренебрегать. Например, функция /(ж) интегрируема по Риману в том и только в том случае, если она ограничена и мпожество ее точек разрыва имеет меру нуль. Можно было бы привести значительное число таких примеров.
1 То же самое рассуждение показывает, что всякое счетное множество точек на прямой имеет меру нуль. 30
Глава XV. Теория, функций действительного переменного
Измеримые функции. Переходим к одному из наиболее блестящих приложений понятия меры множеств, а именно к описанию того класса-функций, с которыми фактически оперирует математический анализ и теория функций. Точная постановка задачи такова. Если последовательность функций {/„(я)}, заданных на некотором множестве Е, сходится в каждой точке Е, кроме, быть может, точек множества N меры нуль, то будем говорить, что последовательность {/„(-О) сходится почти всюду.
Какие функции можно получить из непрерывных функций путем: повторного применения операции построения предела почти всюду сходящейся последовательности функций и алгебраических операций?
Для ответа на этот вопрос нам потребуется несколько новых понятий.
Пусть функция /(ж) определена на некотором множестве E и а — произвольное действительное число. Обозначим через
Я [/(X) > а]
множество тех точек Е, для которых /(х)>а. Например, если функция. / (х) определена на отрезкб [0, 1] и на этом отрезке f(x) = x, то множества -Е|/(ж)>а] равны [0, 1] для а<0, равны (а, 1] для O^ а <1 и Пусты для а ^l.
Функция f(x), определенная на некотором множестве Е, называется-измеримой, если само множество E измеримо и для любого действительного числа а измеримо множество E [/(я) > а].
