Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим каждое из уравнений (52), (53), (54). Предварительно заметим следующее.
Если оси Ox и Oy были взаимно перпендикулярны, то оси Ос, и Otj уже не будут, вообще говоря, взаимно перпендикулярны. Но мы для упрощения выполнения чертежей считаем их взаимно перпендикулярными. Кроме того, при преобразовании (51) масштабы по осям Ос, и On также могли исказиться; они могут быть не теми, какие были первоначально взяты на осях Ox и Oy. Мы же, опять для упрощения чертежей, считаем, что масштабы не искажаются. Поэтому, например, вместо концентрических окружностей, как на рис. 8 (стр. 26), вообще говоря, может получиться семейство подобных и подобно расположенных эллипсов с общим центром в начале координат. § 6. Особые точки
37
Все интегральные линии уравнения (52) задаются соотношением
вида
07, + 61^=0,
где а и Ъ — произвольные постоянные.
Интегральные линии уравнения (52) схематически изображены на рис. 10; при этом мы считали, что В этом случае все интег-
ральные линии, кроме одной — оси Oyt — касаются в начале координат оси ОСлучай 0 <[ k <[ 1 сводится к случаю к 1 заменой ? на •*) и т) на т. е. нужно поменять роли осей % и у). При к = 1 уравне-
ние (52) обращается в уравнение (30), схема поведения интегральных линий которого изображена на рис. 7.
Схема поведения интегральных линий уравнения (52) при «<[0 изображена на рис. 11. В зтом случае имеются только две интегральные линии, которые проходят через точку 0: это ось и ось Oyj. Всякая Hte другая интегральная линия, приблизившись к О до некоторого минимального расстояния, удаляется от этой точки. В этом случае говорят, что в точке О имеется седло, потому что интегральные линии похожи на изображение на карте линий уровня горного перевала (седла).
Все интегральные линии уравнения (53) даются уравнением
br, = l(a + b\n\X\),
где а ж Ь — произвольные постоянные. Схематически они изображены на рис. 12; все они касаются в начале координат оси Oy.
Если всякая интегральная линия, попавшая в некоторую окрестность особой точки О, приходит к этой точке и притом по определенному направленйю, т. е. имеет в нуле определенную касательную, как это показано на рис. 10 и 12, то говорят, что в точке О имеется узел. 38 |
Глава V. Обыкновенные дифференциальные уравнения
Уравнение (54) легче всего проинтегрировать, если перейти к полярным координатам р и 9, положив
C = P COS 9, V) = р sin 9. Тогда это уравнение перейдет в уравнение
= где Л = -?-,
откуда
р = Ce4K (56)
Если то все интегральные линии приближаются к точке О,
бесконечно навиваясь на эту точку, когда9—оо (рис. 13). Если к<10,
то же происходит, когда 9-^-+00. В этих случаях точку О называют фокусом. Если же A = 0, то семейство интегральных линий (56) состоит из кругов с центром в точке О. Вообще, если некоторая окрестность точки О заполнена замкнутыми интегральными линиями, содержащими внутри себя точку О, то такую точку называют центром.
Центр может легко перейти в фокус, если к числителю и знаменателю правой части уравнения (54) прибавить член как угодно высокого порядка; следовательно, в этом случае поведение интегральных линий вблизи особой точки не определяется членами 1-го порядка.
Уравнение (55), соответствующее уравнению (45), совпадает с характеристическим уравнением (19). Поэтому рис. 10 и 12 схематически представляют поведение на фазовой плоскости (х, у) линий
х = х (t), y = x'{t),
соответствующих решениям уравнения (6) при действительных X1 и X2 одного знака; рис. 11 соответствует действительным X1 и X2 разных § 7. Качественная теория
S9
знаков, а рис. 13 и 8 (случай центра) — комплексным X1 и X2. Если действительные части X1 и X2 отрицательны, то точка (х (t), y(t)) приближается к 0 при t со; в этом случае точка х = 0, у = О соответствует устойчивому равновесию. Если же действительная часть одного из чисел X1 и X2 положительна, то в точке х = 0, у = O нет устойчивого равновесия.
§ 7. КАЧЕСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Важное место в общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений занимает качественная теория дифференциальных уравнений. Она возникла в конце прошлого века в связи с потребностями механики и астрономии.
Во многих прикладных задачах требуется установить характер решения дифференциального уравнения, описывающего некоторый физический процесс, определить свойства его решений для конечного или бесконечного промежутка изменения независимого переменного. Так, например, в небесной механике, изучающей движения небесных тел, важно иметь сведения о поведении решений дифференциальных уравнений, описывающих движение планет или других небесных тел, при неограниченном возрастании времени.
Как мы говорили выше, лишь для немногих особо простых уравнений общее решение может быть выражено при помощи интегралов от известных функций. В связи с этим возникла задача изучения свойств решений дифференциального уравнения по самому уравнению. Так как решение дифференциального уравнения представляется в виде кривой на плоскости или в пространстве, то возникла задача об исследовании свойств интегральных кривых, их расположения, их поведения в окрестности особых точек. Будут ли они, например, расположены в ограниченной части плоскости или иметь ветви, уходящие к бесконечности, будут ли среди них замкнутые кривые и т. д. Исследование таких вопросов и составляет задачу качественной теории дифференциальных уравнений.
