Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
27
Пример 2. Уравнение
dy___, /оо\
dx у ^ '
задает поле направлений всюду, за исключением начала координат. Схематически оно изображено на рис. 8. Направления, задаваемые в точке (X, у) уравнениями (30) и (33), взаимно перпендикулярны. Ясно, что все окружности, имеющие центр в начале координат, будут интегральными кривыми уравнения (33). Решениями же этого уравнения будут функции
у—JrSjR2-у= — SjRi-X1, —/г<ж</г.
Для краткости в дальнейшем будем говорить иногда «решение проходит через точку (х, у)» вместо того, чтобы говорить точнее: «график решения проходит через точку (х, у)».
§ 5. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ.
ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
Вопрос о существовании и единственности решения дифференциального уравнения. Возвратимся к дифференциальному уравнению (17) произвольного порядка п. Оно имеет, вообще говоря, бесконечное множество решений, и чтобы из всевозможных его решений выделить какое-либо одно определенное, необходимо к уравнению присоединить дополнительные условия, число которых должно быть равно порядку п уравнения. Такие условия могут иметь весьма разнообразный характер, и вид их тесно связан с физическим, механическим или иным значением задачи, которую мы привели к решению уравнения. Например, если нам нужно исследовать движение механической системы, начинающееся с определенного начального состояния, дополнительные условия будут относиться к определенному (начальному) значению независимой переменной и будут носить тогда название начальных условий задачи. Если же мы хотим определить линию провисания каната при конструировании подвесного моста или хотим найти прогиб балки, положенной на опоры и несущей какие-либо нагрузки, мы встретимся с дополнительными условиями, относящимися к различным значениям независимой переменной (к концам каната или точкам опоры балки в наших примерах). Можно было бы привести много других примеров, показывающих, насколько разнообразными могут быть дополнительные условия, присоединяемые к дифференциальному уравнению.
Будем считать, что дополнительные условия поставлены и нам нужно найти решение уравнения (17), удовлетворяющее таким условиям. ,Первый вопрос, который мы должны поставить,—г это вопрос о существовании искомого решения. Нередко бывает, что мы заранее не можем 28 |
Глава V. Обыкновенные дифференциальные уравнения
быть уверены в его существовании. Пусть, скажем, уравнение (17) является записью закона работы какого-либо физического прибора, и пусть мы хотим определить, может ли в этом приборе осуществиться периодический процесс. Дополнительные условия будут тогда условиями периодической повторяемости начального состояния процесса в приборе, и мы не можем сказать заранее, будет или не будет существовать решение, им удовлетворяющее.
Во всяком случае исследование проблемы существования и единственности решения дает нам возможность выяснить, какие дополнительные условия могут быть выполнены для рассматриваемого уравнения и какие из них определят решение единственным образом. Выявление таких условий и доказательство существования и единственности решения уравнения, описывающего некоторое физическое явление, ймеют большое значение и для самой физической теории. Они показывают взаимную согласованность допущений, принятых в математическом описании явления, и известную полноту этого описания.
Методы исследования проблемы существования многообразны, но среди них особенно важную роль играют так называемые прямые методы. Существование нужного решения в них доказывается путем построения приближенных решений, сходящихся в пределе к точному решению задачи. Эти методы дают возможность не только установить существование точного решения, но доставляют также возможность, хотя бы принципиальную, сколь угодно точно к нему приблизиться.
Ниже в этом параграфе для определенности изложения будем иметь, в виду задачу с начальными данными и на ее примере постараемся выяснить идеи метода Эйлера и метода последовательных приближений.
Метод ломаных линии Эйлера. Пусть в некоторой области G плоскости (X, у) задано дифференциальное уравнение
? = /<*. 2/)- (34)
Как мы уже отмечали, уравнение (34) определяет в области G поле направлений. Возьмем какую-нибудь точку (хй, у0) из G. Ей будет соответствовать проходящая через эту точку прямая L0 с угловым коэффициентом f(x0, у0), касательная к проходящей через эту точку интегральной линии. На прямой L0 возьмем точку (^1, ух), достаточно близкую к (жо> Уо) (на Рис- ^ эта точка обозначена цифрой 1). Через точку (X1, уг) проведем прямую L1 С угловым коэффициентом f{xv 2/j), на которой мы отметим точку (х2, у.г) (на рисунке эта точка обозначена цифрой 2). Затем на прямой L2, соответствующей точке (ж2, ?/.,), отметим таким же способом точку (xv у3) и т. д. Пусть при этом х0<^х1<С_ < X2 <[ X3 .. . Предполагается, конечно, что все . точки (х0, у0), (X1, ?/,),
(X2, у2),___принадлежат области G. Ломаная линия, соединяющая эти
точки, называется ломаной Эйлера. Можно было бы провести ломаную § 5. Существование и единственность решения
