О некоторых вопросах теории моментов - Ахиезер Н.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть X0 какой-либо положительный элемент (•*¦„ >9). Покажем, что множество H всех элементов X таких, что
(7) х<х0, х CG,
есть ограниченное множество. Действительно, из (7) вытекает, что
Xi-X0 — X С К,
и поэтому
Ч *о II _ II 11*11 ~11
ибо
х' = ы\ск> e=-^CG и »«и-1-
Рассмотрим теперь подпространство G0) G, образованное всеми элементами у вида: у = x-\-tx0,
1 Без особого труда можно показать, что если пространство E с е п а р а-б ельно, т. е. в нем существует счетное всюду плотное множество, то к фун-чионалу F (х) можно придти счетным числом шагов.
2 Т. е. расстояние || е — х || любого вектора е Q G (|| е || — 1) от любого элемента X С К имеет положительную нижнюю границу d.
3 Указанное в теореме условие для подпространства G является не только Достаточным, но и необходимым для того, чтобы любой линейный Функционал, определенный в G, допускал позитивное расширение в Е.
.155 где X С О, a t—произвольное вещественное число. Положим в этом пространстве
<рОО-/(*)+«.
где число S взято под условием
S > sup f(x),
*с я
или, что то же самое, под условием '
(8) S > / (л) при л; < л0 и X CG.
Аддитивный функционал <р (у) позитивен. Действительно,. еслн у = х + tx0^ О (х С G, хфЬ), то ?>0, ибо в противном случае имело бы место неравенство
X = x + tx0+\t\ х0>Ь,
что невозможно. Поэтому из неравенства
у = л + tx0 > 9 (х С G>
при уфЬ вытекает, что t> 0, x0> — xjt, а следовательно, в. силу (8)
S>--J-fix) или <рО)=/(л:) + ^>0.
Так как, х0 > 0 - и х0 С G0, то согласно первой теореме функционал <р (х), а с ним и функционал f(x), могут быть расширены до линейного цозитивного функционала F(х), определенного во всем Е. Теорема доказана.
3. Подпространство GCE называется конечно-мерным, если, В нем существует конечное число элементов gi, gi, ... gn таких,, что'каждый иной элемент х С G представляется в виде линейной комбинации элементов gi (г== 1, 2. ... га), т. е.
л
X = ^Ztgi.
і
Если при этом векторы gtЦі = 1, 2, ... п) линейно независимы, то числа Sj (і = 1, 2, ... га) определяются однозначно вектором х и называются координатами вектора х в базисе g\,g%,...gn-Число элементов базиса gx. g2, • • • gn, легко видеть, не зависит от базиса и называется числом измерений пространства G.
л
Отнесем каждому вектору X=^Zigf из л-мерного про-
1
странства G вектор ? = (S1, ... Sn) эвклидовского пространства Ell, в котором в качестве нормы служит обыкновенная длина, т. е. _
Ihsii-JZr ?$?¦
157. .Этим самым мы установим, очевидно, одно—однозначное отображение О на En. Покажем, что это отображение взаимно непрерывно, т. е. что из
<9) Hm Ik = I следует Hm Xk = х
и наоборот.
л
Действительно, если X = 2 btgl< т0
1
I *11 < і I h I Ui IK (se?) Л(| Ilftll')' = M Hs II,
- (2 Iktir)
яе зависит от х. Отсюда
Il л; — л:* И < -M И E — Е* H
т. е. (9) доказано. В частности, из доказанного следует, что IUII = X (Si. • • • Ьп) есть непрерывная функция от % = (S1, ..-. Sn). Пусть ja = min К X Il при дополнительном условии ||е|| =
/" Xй
= (2^ =1- Так как по теореме Вейерштрасса минимум достигается, то jt > 0. Из определения ^ вытекает, что
<10) HlSlI <11*11 или IlS ||-<-f Il* ІІ-
?де
M
Следовательно,
•SA IK-Jr IlЛ—**
т. е. соотношение (9) можно обернуть.
Из взаимной непрерывности отображения вытекает
Лемма
Единичная сфера ||jc||<1 (л: CG) конечно-мерного пространства О есть множество компактное в себе1.
Действительно, при отображении рассматриваемая
сфера Sg, будучи замкнутым множеством, переходит в некоторое- ограниченное замкнутое множество эвклидового пространства. Но последнее, по теореме Больцано-Вейерштрасса, компактно в себе, а следовательно, компактна в себе и сфера Sg-
Теперь мы можем сформулировать теорему:
1 Множество H С E называется компактным, если каждая его бесконечная часть содержит последовательность, сходящуюся к некоторому элементу X QE. Если, кроме того, этот предельный элемент х принадлежит Н, то говорят, что H компактно в себе-
157. Теорема З
Если ОСЕ — линейное конечно -мерное пространство, не имею ще е общих точек с К (К— замыкание Kjy кроме точки л; = 6, то каждый линейный функционал/ (X), определенный в G, может быть расширен до позитивного функционала/7 (л), определенного во всем Е.
Доказательство
Согласно теореме 2, остается показать, что множество единичных элементов из G удалено от К на расстояние d > 0. Допустим, что d S= 0. Тогда будет существовать последователь^ ность { еп } С G (Il еп Il = 1; я = 1, 2, ...) и последовательность {хп} ^ К так, что ||л;л—?„||—>0. В силу предыдущей леммы, последовательность {е„} содержит * некоторую подпоследовательность {еПч}, сходящуюся к некоторому элементу е CG
(Iirntfn,, = е). Но тогда также Іітл;^ = е и, следовательно, е С К. Но это невозможно, ибо е фЬ (\\е\\ = 1). Теорема доказана.
4. Условимся говорить, что К—острий к о н у с, если в нем существует такой положительный елемент и, что множество H (и) элементов х, удовлетворяющих неравенству
