О некоторых вопросах теории моментов - Ахиезер Н.
Скачать (прямая ссылка):
fix) = 0.
Пусть а некоторый элемент И, т. е. / (а) = с. Если х С H0, то f(x + a) = f(x)+f(a)=f(a)~ с, т. е. х'=х+аСН; обратно, еСли X'С Н, то f(x'~ a) = f(xf) — f(a) = 0, т. е. X = х' — а С H0.
Ахиезер и Крейн—65—11 161Отсюда
H = Ta H0-
Так как H0 — линейная система (линейное пространство), то H—линейное многообразие. Таким образом, всякая гиперплоскость есть линейное многообразие.
Условимся говорить, что точки X1 и х2 лежат по разные стороны от гиперплоскости Н, если разности
/(X1)-C и / (X2)- С
имеют противоположный знак; в противном случае будем говорить, что точки X1, X2 лежат по одну сторону от гиперплоскости (18).
Отрезком, соединяющим концы X1 и х%, называют множество точек z вида
Z=tx 1 + (1- t) X2,
где
0<^<1.
Легко видеть, что, если точки X1 и X2 лежат по разные стороны от гиперплоскости, то отрезок их соединяющий пересекает гиперплоскость, т. е. имеет с ней одну н только одну общую точку z, для которой 0<?<1.
Множество SJt называется выпуклым, если вместе с каждыми двумя точками оно содержит и отрезок их соединяющий. Выпуклое множество $ называется выпуклым телом, если оно замкнуто н содержит внутренние точки.
Теорема 5 (Ascoli-Mazur)1
Если линейное многообразие G не содержит внутренних точек выпуклого тела Ш, то существует по крайней мере одна гиперплоскость Я, содержащая G, по одну сторону от которой расположено тело Sh
Доказательство
Если применить одну и ту же трансляцию к многообразию G и телу $ и доказать теорему для сдвинутых таким образом многообразия и тела, то этим самым теорема будет доказана для данных Gnf. Поэтому без ограничения общности мы можем принять, что G содержит начало 6, т. е., что G — линейное пространство.
1 Для конечно-мерных пространств эта теорема была доказана еще Minkowski; для случая лннейных сепарабельных пространств ее доказал Ascoli [19]. В том виде, как мы сформулировали теорему, она была доказана иным путем
S. MazuroM [33]. 1 1
162.Обозначим через S10 совокупность всех внутренних точек $ и рассмотрим наименьшее множество
K= <3 Xt0,
0<*<оо
содержащее в себе все растянутые тела XSf0 (Q<gX<oo).
Легко видеть, что К обладает характеристическими свойствами конуса 1? и 4° (см. стр. 153). Оно обладает также свойством 2°. Действительно, пусть X1 С К и х2 С К, тогда найдутся такие Ух С Sf0 и J2 С $<,. что
X1 = X1JZ1, Я2 = X2JZ2 (X1 >0, X2 > 0).
Мы можем считать, что X1 4- X2 > 0. Так как Sf0 выпукло, то
точка
„ _ ХіУі + с а
а следовательно, точка X1 + X2 = (I1 + X2)у С К.
Для того, чтобы убедиться, что множество К—конус, остается показать, что оно обладает свойством 3°. Допустим противное, пусть некоторое афЪ обладает тем свойством, что а С /С и — а С. К. Тогда найдутся такие числа X1 > 0 и X2 > 0, что
ьг = ~ CSf0 и ь2 = --fest*
A1 A2
Так как S10 состоит только из внутренних точек, то Sf0 содержит также некоторые сферы S1 = S(blt ^1) и S2 = S(b2, ра). Рассмотрим множество S, состоящее из точек z вида
aI T л2
Легко видеть, что S есть сфера с центром в точке в радиуса
XiP1H X2Pa р ^ + X2 •
С другой стороны, так как S1 С Sf0 и S2 С Sf0, то и S входит в откуда точка 6 является внутренней точкой Sf, что противоречит допущению.
Итак, К—конус. Введем с помощью него понятие о неравенствах между элементами и понятие о позитивных функционалах.
Возьмем в К какой-либо элемент X0 > 9 и рассмотрим пространство G0, образованное всеми элементами у вида
у = X -f tx0,
где X Q G, a t—произвольное вещественное число. Положим в этом пространстве
/(У)-*.
Определенный таким образом функционал f(y) позитивен.
163.Действительно, из неравенства у+ в вытекает, что t>0, ибо в противном случае (t<0) мы бы имелил:>|*|л^>6, что невозможно, так как х С О не есть внутренняя точка тела а значит, и конуса К. Следовательно, если y = x+tx0> 9, то f(y)~t> 0.
Так как лннейиое пространство O0 содержит положительный элемент Xit то по теореме 1 существует позитивный функционал F(x) такой, что
F{x) = f(x) при л; С О. Следовательно, гиперплоскость
F(x) = О
содержит многообразие О; так как, кроме того, тело ® лежит по одну сторону от этой гиперплоскости (ибо, если AlCtl то х > в, и значит, F(x) > 0), то теорема доказана.
Теорема 6 (Hahn).
Пусть ОСЕ некоторое линейное подпространство. Всякий линейный функционал /(х), определенный в G, может быть расширен до функционала F(x), определенного во всем Е, и притом с сохранением нормы, т. е. так, чтобы
IIFII = 1№=н/||о.
Доказательство
Предполагая, что /(х)ф0 (л:С G), т. е., что ||/||о > 0, рассмотрим в О гиперплоскость L, уравнение которой
(19) /W=IiIIZlIc/ (хСО).
Гиперплоскость L, рассматриваемая в Е, представляет нз себя некоторое линейное многообразие. Это многообразие не содержит внутренних точек единичной сферы 5(0,1). Действительно, по определению
/(*) <11 /ІІО, если IIxIK 1
и поэтому, если ||а||<1, то непременно /(а)<||/|1о.
По теореме Ascoll-Mazur'a через многообразие L проходит ' гиперплоскость Н, по одну сторону от которой находится единичная сфера; пусть ее уравнение