Статистический анализ: Подход с использованием ЭВМ - Афифи А.
Скачать (прямая ссылка):
Модель повторяемого плана с рандомизированными блоками, описываемую уравнением (4.3.12), можно рассматривать как повторяемый двухфакторный план с N > 1 и обрабатывать любой факторной программой, допускающей повторение наблюдений. Если программа не допускает повторений, мы переформулируем модель следующим образом: Ах — фактор «способ обработки», Л2 — фактор «блок» и А3 — фактор «повторения». Используя факторную программу для трехфакторного плана, мы можем представить остаточную сумму квадратов исходной модели в виде
SSR = SS^, + SSAlA, + SS^a + SSAM, (4.4.4)
где величины, фигурирующие в правой части, берутся просто из таблицы дисперсионного анализа для трехфакторного плана. Аналогичная формула справедлива и для остаточного числа степеней свободы. Величины EMS задаются по формулам табл. 4-3.9.
4.4. Общая программа факторного планирования
273
2. Двухфакторная модель с группировкой. В двухфакторной модели с группировкой, описываемой формулами (4.3.13) или (4.3.14), участвуют два фактора Лг и Л2, причем Л2 сгруппирован фактором Ах. В каждой ячейке производится N наблюдений. При использовании факторной программы, допускающей повторения, можно рассматривать наш план как факторный план с двумя факторами и N повторениями. Сумма квадратов для фактора Л2, подчиненного Лъ равна
SSA,(Al) =SSy»1-[-SS,M,. (4.4.5)
Суммы, стоящие в правой части, содержатся в таблице дисперсионного анализа для факторного плана. Аналогичная формула верна и для числа степеней свободы vA^Al). Величины SS^, и SSR, так же как и соответствующие им числа степеней свободы, берутся прямо из этой таблицы.
При использовании программы, не допускающей повторений, введем фактор «повторений» Л3 и рассмотрим полученную модель как трехфакторный план. Остаточная сумма квадратов для модели с группировкой выражается через величины, выдаваемые программой по формуле
SSR = SS*, + SSAtA, + SS^, + SS^^^3- (4.4.6)
Число степеней свободы находится аналогично. Величина SSAi (Al) задается равенством (4.4.5), а ББл, и vAl выдаются непосредственно программой. Значения EMS находятся в соответствии с табл. 4.3.12.
3. План с расщепленными блоками. В этой ситуации мы располагаем /х видами обработки (фактор Л,), /2 подвидами обработки (фактор Л2) и /3 блоками (фактор Л3) (Вгошпіее (1965)). Каждый блок делится на /г однородных участков, а каждый участок — на 1ч, подучастков. Внутри каждого блока уровни фактора Лх случайно распределяются по участкам, а внутри участка уровни фактора Л а случайно распределяются по подучасткам. Например, один блок в случае 1Х = 3, /2 = 2 может быть устроен так, как показано в следующей таблице, в которой индекс іі обозначает уровень фактора /, / = 1, 2.
Участок 1 Участок 2 Участок 3
Поду часток 1 Подучасток 2
Блок
Таблица 4.4.1
Таблица дисперсионного анализа расщепленных планов
Источник дисперсии
Сумма квадратов
Число степеней свободы
Средний квадрат
модель I
— у і3 + у---)'2
-У-і.г + У-.-)г АгАг (подвидХ ^г^з = 2 (9-іг'-л ~ У- 'з ~
А3 (блоки)
Аг (вид обработки)
(ошибка участка)
а2 (подвид обработки)
АгА2 (видХ X подвид)
Ч43 = !з — 1
X блок)
Й (ошибка под-участка)
Полная
— Учу + У--)2
ББ^ = ББх — (сумма всех предыдущих ББ)
^ = 'г - 1
1)(/3-1) Мвдсі) ЧА2 = /2 — 1 Л^л.,
^л, = (Л — 1) (Лі — 1) М5ЛіЛ;, а2+/
^'л2л3 = (/« - 1) (/в - 1) М5А,4 ¦
VR = (/.— 1) </»—!) М5К
= 2 (^2!3 —*¦••)* ^'т = /1/2/3~1
°2 + '2°І+/і'2<
а -тг /2°1 + у2'з / і1
2 2 (а1»2)2ііі.2
(/і-1)(/.-1)
Суммирование по 11іг и іа.
4.4. Общая программа факторного планирования
275
Цель такого плана состоит в уменьшении числа комбинаций способов обработки внутри одного блока. Моделью плана служит
У 1^1, - М- + Ы/, + Ы/, + (а3)«, + (а^)^, +
+ (садз)^. + <?Ии.) + (4.4.7)
11=\,...,11, 12=1...../2, !',, = 1, . . ., /в.
Здесь ах — фиксированные эффекты, определяемые видами обработки, а2 — фиксированные эффекты, определяемые подвидами, а3 — случайные эффекты блоков, ос^ — взаимодействие вида и подвида обработки, ага-л — взаимодействие подвида с блоком. Член е'1' — случайная ошибка участков внутри блока, а е — случайная ошибка подучастков внутри участка. Предполагается, что е(1> распределены по N (О, а3), а е — по N (О, а2). Дополнительные ограничения имеют вид
?(а0«ч = Е О, Е(а1«2)м2 - >Е («вдОм* - О
*1 ^2 *1 *2
для каждого значения гх и г2. И наконец, считается, что (а3)(3 распределены по ЛГ (0, а\), а (а2а3),-21-3 — по N (О, а|„а<) при всех г 2 и г3.
Таблица дисперсионного анализа для такого плана имеет вид табл. 4.4.1, а критерии проверки гипотез приведены в табл. 4.4.2. Степени свободы Р-отношения вычисляются по
Таблица 4.4.2
Критерии для расщепленных планов
Я0: <т22,., = 0 Я0: асе (хі аі), (і2 = О асе = О
Я0: (Т,2 = О Я0: асе («,),-, = О Я0: ста23 = О
таблице дисперсионного анализа. Если гипотеза Я0: а\ = 0 не отвергается, то сторонник объединения может перейти к объединенным оценкам сумм 55ки> и 55к, чтобы получить новую остаточную сумму квадратов. Эта сумма используется при проверке гипотез Я0: (о^),, = 0 и Я0: а\ = 0. Чтобы получить табл. 4.4.1, используя факторную программу, мы рассмотрим расщепленный
