Статистический анализ: Подход с использованием ЭВМ - Афифи А.
Скачать (прямая ссылка):
А о3 1 1-1 °2 + <4 + Jol
в о-2 , 'S/P? 1 / — 1
R О2 °2 + °1ь
представляет собой несмещенную оценку дисперсии о2. Однако в случае модели II мы не сможем оценить эту дисперсию о'2, если только не предположим, что а2аЬ = 0. Оценки для дисперсий а\ и о| задаются формулами
6\ (MSА - MSR)//, 61 = (MS/з - MSR)//. (4,3.10)
Наконец, F-отношения для проверки гипотез приведены в табл. 4.3.7. />-значение равно площади справа от величины F
Таблица 4.3.7
Критерии для неповторяемого двухфакторного плана
Модель I: Модель II: Н0 : все at = 0 н„: о2а = 0 Н0 : все ?^ = 0 Но : ob = °
р __
MSr MSr
Vi= /—1 vt= /—1
v2 = (/-!)(/-!) v2= (/-!)(/-!)
под кривой плотности распределения Р (V!, v2). Вопрос об объединении здесь не возникает, так как объединять нечего. Тем не менее если в случае модели I предположение независимости ока-
(
256 Гл. 4. Дисперсионный анализ
зывается нереалистическим, то критерий для главных эффектов может оказаться слишком «консервативным». Это значит, что гипотеза #0 будет отклоняться реже, чем необходимо, и мощность критерия уменьшится.
Замечание 4.3.3. Для неповторяемых двухфакторных планов мы предполагали, что модель аддитивна. Исследователь, сомневающийся в истинности такого предположения, может рассмотреть неаддитивную модель и для нее проверить гипотезу о том, что все взаимодействия равны нулю (Тикеу (1949)). Для этого нужно вычислить величины
-II -|2
2 Ц (У1. — 8..) (9.1 —В.) уц
СО _ I. »=1 1=1_.
ЬЬй — -т-у—-—-— ,
23 (ви-в..? 2 (у.1-у-)2
1=1 1=1
I I
Ъ$ав ~ И И (Ун - У:. - У./ + У-?,
1=11=1
Статистика, лежащая в основе критерия для проверки гипотезы об отсутствии взаимодействий, равна
= (//-/-У) ЭЗо^ц.
.Р-значение равно площади справа от точки Р под кривой плотности распределения Р(1, п—/—У).
Пример 4.3.4. Продолжим рассмотрение эксперимента, описанного в примере 4.2.2. Оценим теперь дифференциальные эффекты диеты и пола в неповторяемом эксперименте. В табл. А
Таблица А
Набор данных
Пол о, Диета о2 О, о. Средине по строкам у(.
Мужчины 4.079 4.368 4.169 4.928 4.3860
Женщины 2.870 2.578 4.403 4.905 4.9390
Средние по столб- 3.4745 3.9730 4.2860 4.9165 у.. ~ 4.1625
цам у. 1
содержатся исходные данные для анализа (эти данные — часть данных, приведенных в табл. А примера 4.2.2). Таблица диспер-
4.3. Двухфакторный дисперсионный анализ
257
еионного анализа содержится в табл. В, а критерий для проверки гипотез — в табл. С. Никаких значимых результатов не получается.
Таблица В
Дисперсионный анализ
Источник дисперсии
Число степеней свободы
Диета Пол
Диета X пол (остаток)
Полная
2.1860 0.3996 0.6709
3.2565
0.7287 0.3996 0.2236
Таблица С
Проверка гипотез
Н„: все а1 = 0 Н0: все ру = 0
Отсутствие дифференциальных Отсутствие Диффереициаль-эффектов диеты иых эффектов пола
Р= 3.26 V1= 3 ^ = 3
Р= 1.79 уг= 1
V, = 3
4.3.3. Смешанные модели. Планы с рандомизированными блоками
В дисперсионном анализе смешанной моделью называется модель, в которой одни факторы соответствуют модели I, а другие -— модели II. Для двух факторов формально возможны две смешанные модели. Не теряя общности, в этом разделе будем считать, что фактор А с / уровнями соответствует модели I, а фактор В с / уровнями — модели П. Предположим еще, что мы не повторяем экспериментов, так что К = 1. Тогда можем записать смешанный двухфакторный план в виде
уц = и. + а,- + Ь1 + ец, ( = 1, ...,/, /=*1, (4.3.11)
где р. — генеральное среднее, аг есть г'-й дифференциальный эффект фактора А, Ь) — независимые величины, распределенные по N (0, е^ также независимы и распределены по N (О, сг2). Кроме того, мы предположим, что величины й7- и вц независимы
9 А, Афифи, С Эйзен
258
Гл. 4. Дисперсионный анализ
в совокупности и что между факторами А а В нет взаимодействия. Отметим еще раз, что фиксированные эффекты обозначаются греческими буквами, а случайные — латинскими. Это соглашение мы будем выдерживать до конца главы, чтобы различать факторы, относящиеся к модели I и модели II.
Для единственности МНК-оценок параметров ^ и ос,- наложим обычное дополнительное условие 2 щ — 0. При этом получим
1
(г = у.., йг = г/,-. — у.., I = 1, /. Таблица дисперсионного анализа не отличается от табл. 4.3.5, а оценкой сг2 служит МБК. Ожидаемые значения средних квадратов ЕМЭ приведены в табл. 4.3.6, в которой для фактора А нужно воспользоваться столбцом, относящимся к модели I, а для фактора В и остатков — столбцом модели II в предположении, что дисперсия взаимодействия а\ь равна нулю. Все величины собраны в табл. 4.3.8. Несмещенная оценка дисперсии о\ задается формулой а% =
Таблица 4.3.8
Ожидания средних квадратов для смешанной двухфакторной модели
Источник ЕМЭ
дисперсии (смешанная модель)
А: Модель I (между обра ботками)
В: Модель II (между бло ками)
= (МЭВ—М5К)//; Р-отношение для проверки гипотезы Я0: все осг = 0 — формулой Р = МЭд/МЭк с v1 = I — I и у2 = = (/ — 1) (У — 1) степенями свободы; Р-отношение для проверки гипотезы Я0: щ = 0 — формулой Р = М5В/М5К с ух = J — 1 и л'2 = (/ — 1) (У — 1) степенями свободы.
