Статистический анализ: Подход с использованием ЭВМ - Афифи А.
Скачать (прямая ссылка):
Шаг 5. Проверяется гипотеза Я0: aL = а2 = = а3 = 0, т. б. отсутствие дифференциальных эффектов, связанных с фактором А. Для переменных 9 это эквивалентно гипотезе #„: 9Х = 02=О. Поскольку гипотеза состоит в равенстве нулю всех 9г, воспользуемся «исключением из правила» для шага 5. Сумма SSR равна полной сумме квадратов в таблице ANOVA для множественной регрессии шага 4, а v'R = п — 1 = 4. Можно и по-другому: разность SSR — SSR представляет собой сумму квадратов, а vR — vR = 3 — число степеней свободы, определяемые регрессией.
Замечание 4.5.2. 1. Таким способом можно получить таблицу ANOVA для любой задачи дисперсионного анализа. Любой заданный в таблице источник дисперсии (кроме остаточной) соответствует гипотезе #0 о некоторых дифференциальных эффектах модели дисперсионного анализа. Эта гипотеза в свою очередь соответствует некоторой гипотезе вида Н0: «в общей линейной модели некоторые 9,- = 0». При этой гипотезе вычислим величины SSR и vR как на шаге 5. Сумма квадратов SSH и число степеней свободы vH для исходного источника дисперсии находятся из равенств
SSH = SSR — SSR и vH = v'R — vR.
Средний квадрат, как обычно, равен
MSH = SSH/vH.
Этот процесс можно повторить для каждого источника дисперсии и построить, таким образом, нужную таблицу ANOVA.
2. В большинстве задач дисперсионного анализа, рассматриваемых в этой главе, предполагалось, что числа наблюдений во всех ячейках равны. Это предположение учитывается в формулах как для числа степеней свободы, так и для EMS для каждого
У Xl х2
У! 1 0
У2 1 0
Уъ 0 1
У* 0 1
У$ -2 -2
4.5. Дисперсионный анализ при помощи регрессии
289
источника дисперсии в таблице ANOVA. Использование множественной линейной регрессии возможно и при различных числах наблюдений в ячейках. В этом случае формулы для числа степеней свободы и EMS для всех источников дисперсии становятся более сложными, и в этой книге мы их не приводим. Однако слагаемые в формулах для EMS остаются теми же, меняются только коэффициенты (см. пример 4.5.3). Отсюда следует, что и числитель и знаменатель /Лотношения при проверке гипотез можно выбирать такими же, как и в случае равного числа наблюдений.
Пример 4.5.2. Пусть у нас имеется два фактора А и В, соответствующие модели I, с / = 2 и / = 3 уровнями соответственно. Пусть в каждой ячейке производится ровно одно наблюдение. Мы хотим получить соответствующую таблицу дисперсионного анализа (табл. 4.3.5). Действуя, как и раньше, получим
Шаг 1. Исходная модель:
^/ = |i + a, + ?/ + Q/, f' = l,2, /=1,2,3.
Дополнительные условия имеют вид ах + а2 = 0, ?x + ?a + + ?3 = 0.
Шаг 2, В соответствии с дополнительными условиями имеем а2 = —ах и ?3 = —?x — ?2. Подставляя эти выражения в исходную модель, получим модель
У а = V + ai + ?i + <?ц, Уп = М- + ai + ?2 + е12, 0и = И+ «1 — (ft + ?a) + е№
Уа = Iх — ai + ?i + e2v
#22 = И* — ai + ?2 + ^22.
Угъ = И- — °Ч — (?i + ?2) + егз>
выраженную через генеральное среднее ц и три дифференциальных эффекта al5 ?x и ?2.
Шаг 3. Перенумеруем наблюдения следующим образом:
У\ = #п. Уг = У&> Уз = #1з. #4 = #21.
Уь = #22 и #6 = #2J-
Ю А. Афифи, С. Эйзен
290 Гл. 4. Дисперсионный анализ
Положим 8л = а1( 02 = р1( 63 = Р3. Модель примет вид у1 = 1г+1О1 + 102 + Оез + в1,
у, - (X + 16! + (- 1) 02 + (- 1)0» + е.л, й-1* + (-1)01 + 1б2 + Ов3 + е4,
УЬ = И + (- 1)0! + 002 + 103 + е6,
Ув = 1* + (-1)в1 + (-1)е, + ев,
где коэффициенты при 81( 02 и 03 определяются по модели, сформулированной на шаге 2.
Шаг 4 и замечание 4.5.1.3. Программа множественной линейной регрессии по исходным данным вычислит требуемые величины
и ук. Кроме того, она выдает МНК-оцен-ки р., 0\, 9г, 0з- Из них мы получим оценки параметров исходной модели
аг = б\, а2 = — аи 0] = 02,
У *1 *2 *з
У1 1 1 0
Уг 1 0 1
Уз 1 -1 -1
У* -1 1 0
У 5 -1 0 1
У в -1 -1 -1
Рг = —0з> Рз
-01 — Р2
Шаг 5 и замечание 4.5.2.1. Источник дисперсии, определяемый фактором А, соответствует гипотезе Н0: аг — а2 = 0. Эта гипотеза в свою очередь соответствует гипотезе Я0: 0Х = 0. Поэтому мы удалим Хх и просчитаем программой множественной линейной регрессии исходные данные. Получим величины ЭЭр и Через них выразим сумму квадратов ЭЭ^ = - БЭр — БЭр и число степеней свободы уА — = гк—ук для анализируемого источника дисперсии. Для источника дисперсии, обусловленного фактором В, гипотеза #0: р\ = Р2 = р3 = 0 соответствует гипотезе Н0: 02 = 03 = 0. Удаляя хг и х2, получаем исходные данные и затем вели-
У х2 *з
Ух 1 0
Уг 0 1
Уз -1 -1
У* 1 0
Уь 0 1
Уь -1 -1
чины
у
>'1
У: Уз
у4
Уь Уб
ЭЭй = ББ^ — БЭр и vв = \'в — По
этим данным вычислим средние квадраты полним табл. 4.3.5.
и за-
Замечания 4.5.3. 1. В некоторых пакетах есть программы, подобные программе ВМОР2У, которые за один прогон производят все описанные в этом разделе вычисления и позволяют проверить все гипотезы.
2. Описанные приемы можно применить и к факторам, соответствующим модели II. Для этого их следует рассмотреть как соответствующие модели I и выписать обычные для модели I ДО-
