Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
(1) а >0
Если а х-, то, обозначив P — Ja, получаем
19.22.1. W(a, х) = W(a, 0) ехр (-рх + V1),
19.22.2. W(a, -х) = W(a, 0) ехр (рх + Vi), где W(a, 0) задается формулой 19,17.4 и
19.22.3. V1, va ~
М+ЇЇ±М1Ї+
2P Qpf (2pf
,jGL VW+Tf!)'
(2P)'
(2 Pf
(а -* + 00).
Верхний знак относится к первой функции, а нижний знак — ко второй.
(2) а < 0
Если — а > X3, то, обозначив р = V—получаем 19.22.4. Ща, х) + iW(a, -х) -
¦ j2W(a, 0) ехр jv, + ((/>х + і + V1 j|.
где W(a, 0) задается формулой 19.17.4 и 19.22.5. v,~
ШМ № (!Г
ару+ ару
(2Pf
+ ...,
ух 3
2р
X 2 Ix V 16Ґ Xls 4 (х V
I + IjiJ L тш + ?UJ
- ...(а-»- - оо).
(lpf (Ipf
Другие разложения такого типа можно найти в [19.3].
19.23. РАЗЛОЖЕНИЯ ДАРВИНА
(1) а > 0, х' - 4а i> 0
Положив 19.23.1. X =
І-ІЇ-Ї $
X + X
* — хХ — а In - -т. 4 2 V,
= — X Vx2 — 4а — a arch 4 2 Va
(значения Ha см. в табл. 19.3), получаем
19.23.2. W(а, х) = Jiiiev' cos(^ + 6 + v,) .
19.23.3. W(a, -х) = Sto^ + Є + V1) •
19.23.4. V,-
Iln X-+ ^-2 Xе Xа
-Y3 Л" X" н dir вычисляются по формулам 19.23.12. 506
19. функции параболического цилиндра
(2) а > 0, 4а-х'>0
Положив
19.23.5. Y - 44а - Xs,
— f Y dx - — XY г a arcsin — 2 J 4 2-Ja
(значения 'I4 — — ~ — 0:1 см. в табл. 19.3), получаем
19.23.6. Wia, х) = ехр {-в + v(o, х)),
19.23.7. ^(о, -х) = ехр {О F v(a, -л)},
ГЛС
19.23.8. v(<j, х-)----In У+А + А + І»+...
2 Г Г« У»
(х2 — 4а — оо) и d3r вычисляются по формулам 19.23.12.
(3) а < 0, у? - 4а > 0
Положив
19.23.9. X - VxiTTTal,
в = 4 I a IS1C-~ 1 _ - { X dx -
WlalJ 2}
4 2 Vl а!
= — х Vx3 + 4| а I — a arsh —
4 2V|a
(значения Q1 см. в табл. 19.3), получаем
19.23.10. Wia, х) - j2keVf cos + Є + ViJ .
19.23.11. W(a, -х) = JfeVr sin + 9 + Vi j *
где vr и Vj вычисляются по формулам 19.23.4. Всюду коэффициенты duf задаются формулами
19.23.12. dt - - -f- - - ах) .
а 1,48 2 )
du =¦= — X3 -f 2а, 4
A81 5760 320
4Q ч і
+ -- Cf2A5 + - O8X8 + !9а4* .
320 21 J
Значения d13,..., dui см. в [19.11]. В другой форме их можно найти а [19.5].
19.24. МОДУЛИ И ФАЗЫ
Если а > 0, то при х< — 2 Ja и х > 2 Ja функция
W(a, х) является колеблющейся. Если а < 0, то она является колеблющейся при всех х. В этих случаях иногда удобно ввести обозначения (х >0):
19.24.1. k~l!iW(a, X) + ikllSW(a, -х) =
= Е(а, х) = Fei*,
19.24.2. k-v*dm?' х) + ikwdW{-a' ~х) =
dx dx
Тогда при xs > I а [ будем иметь 19.24.3. F~У|(і+
= Е'(а, х) = -Ge'
IQg'-3 3 Од3 —47а
"г Л.Л "Г ...в '
4X1
19.24.4. х~ ^ - а Ш * + ^ + ^ + ^^ + 4 2 4 8х"
19,4.5.
6а'- 5 4л4
19.24.6. + +
4 2 4 8аг
8х*
где Ф2 определяется формулой 19.17.10. Если а < 0, І а I > X21 то
19.24.7. F~j2W(a, V)e"',
где Vr задается формулой 19.22.5, причем р — 4-а. Кроме того, имеют место 19.24.8—19.24.11.
19.24.8. F~
I -X4 +8 -х«+152х! \
' ----H ... J.
47 V W (4i>)4 j 19.16—19.26. РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ
507
19.24.9. X ~ — + 4
І і* I3t4l6 1,. + ?
+ J і+*___5 , -I—
v (4Pf (4p)1 (4рУ
¦ЛІР 1 +
3 4 2
(4і>)3
(4j>)4
2 хЧ 168xa _ (4?)"
2 4 ,.
— X" —X"— 10
19.24.11. - - + рх I 1+ ------
4 V (4pf (4pf
4 , 320
— X--X
7 3
(4P)'
Далее, если а < 0, ха — 4а 0, то, обозначив X -— Vx2 + 41 а I, получаем
¦ - + в + п, 4
19.24.12. F- Jl eVr, X .
где 0. Vt- и Vi задаются формулами 19.23.4 и 19.23.9. При а > 0 и хЕ — 4л с» имеем
Sa , 621 .
19.24.13. F- j/-|(l
19.24.14. С~У|(
_3_ 4Х4
X» 32ЛГа
, 1371а
835 32Х» "
где 'у и у. связаны соотношением
19.24.1S. ф - X '
2 + Л?
f1- — І 6АГ»
1729а I
4.Г10 '"J 214а
~ зд:«
+ —Ї+-1 40Х" j
19.25. связь с вырожденной гипергеометрической и бесселевыми
функциями
19.25.1. Ща, ± х) - 2-« {][§- д ( - 1- ± ¦ ?) ±
Не
19.25.2. Н(т, п, х) = ^ix1Fх{т + 1 - in; 2т+ 2; 2ix),
19.25.3. Н(т, п, х) = e~ixM(m + 1 - in-, 2т + 2; 2ix),
19.25.4. W(0, ± х) = 2-5'4 V^ j J-i/4 ±
19.25.5. — ^(0, ±*) = dx
= - 2-"4* |л/4 ± J-w [^]} <* > 0).
19.26. нули
Решения U(а, л), V(a, х) уравнения 19.1.2 гшеюг нули только при |д-[< 2 V—а, когда я отрицательно. Однако общег решение может имегь одни исключительный нуль при любом а. Ни одно из решений U (a, л) и V(a, х) ке имеет нулей при X > 0.
Приближения для нулей можно получить обращением рядов для V (или X в случае пулей производных), приведенных в 19.11 ,которые даю г для ф (или у_) эначетшя, кратные тт/2, примем с нечетным множителем для U(a,x) а четным для Via, х). 1-еря
U 2 4 J
в качестве приближения для нуля функции или
в качестве приближения для нуля производной, получаем для соответствующих нулей с или с' выражения
« 2«8 — 3« , 52а* — 240а3+315а , 19.26.1. с «--(--:— -f-- +
19.26.2. 2^ + 3? + 52?5 + 280?3—285? +
где —а = P-.
7680р®
-h280?3-7680p9
Однако в окрестности переходной точки х = 2V—а эти
разложения не представляют большой ценности. В этом случае nepouS приближение можно получить при помощи формул из 19.7. Ееля «г» есть нуль (отрицательный) функции 508
