Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
Высшая школа, 1965.
18.33. Лаврентьев М. А., Ш а б ат Б. В. Методы
теории функций комплексного переменного. — M.: Наука, 1965.
18.34. Л омк а ци Ц. Д. Таблицы эллиптической функ-
ции Вейерштрасса. — M.: ВЦАНСССР, 1967. — Теоретическая часть В. М. Белякова и К. А. Карпова.
18.35. Сикорский Ю. С. Элементы теории эллипти-
ческих функций с приложениями к механике. — M.; Л.: ОНТИ, 1936. Глава 19
ФУНКЦИИ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРА1)
ДЖ. МИЛЛЕР
СОДЕРЖАНИЕ
19.1. Функции параболического цилиндра. Введение .......................... 494
Уравнение — (——b о! у = 0. dxz { 4 J
19.2—19.6. Разложения в степенной ряд по х, стандартные решения, вронскиан и другие соотношения, интегральные представления, рекуррентные соотношения ...................;........................ 495
19.7—19.11. Асимптотические разложения ................................... 498
19.12—19.15. Связь с другими функциями .................................... 501
d2y Ґ Xs 1
Уравнение —— +1--а Ь = 0.
dx2 I 4 J
19.16—19.19. Разложения в степенной ряд по х, стандартіпле решения, вронскиан и
другие соотношения, интегральные представления .............. 503
19.20—19.24. Асимптотические разложения .................................. 504
19.25. Связь ^вырожденной гидсргеометрической ибесселевыми функциями .... 507
19.26. Нули ................................................................ 507
19.27. Функция Бесселя порядков ±1/4, ±3/4 как функции параболического ци-
линдра .............................................................. 509
Примеры ................................................................... 509
Таблица 19.1. U(a, х) и V(a, х) (0 < х < 5) .............................. 512
±а = 0(0.1) 1(0.5) 5; х = 0(0.1) 5, 5S.
Таблица 19.2. Ща, ±х) (0 < х ^ 5) ...................................... 522
±а = 0(0.1) 1(1) 5; х = 0(0.1) 5, 4-5D или S.
Таблица 19.3. Вспомогательные функции .................................... 530
Литература .................................................................... 531
19.1. ФУНКЦИИ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРА. ВВЕДЕНИЕ
Эти функции представляют собой решения дифференциального уравнения
19.1.1. + (ах% + bx + с) у = 0, Jx8
записываемого в следующих двух стандартных формах: d2y fx3
19.1.2.
dx2
-(т+ф
19.1.3. ^ +
dx3
о.
Если одна из функций
19.1.4. у(о, х), у(а, —х), .у(-<Ь '*). у(—а, -Ix)
является решением уравнения 19.1.2 или уравнения 19.1.3,
то все остальные функции также являются решениями этого уравнения.
1JItaorfla эти функции называют функииями Вебера. (Прим. перав.) 19.2—19.15. решения уравнения - (-j- *» + а) у - о 495
Заменой а на — ia и х на Xeinli можно преобразовать 19.1.2 в 19.1.3. Если у(а, х) — решение уравнения 19.1.2, то 19.1.3 имеет решения
19.1.5. y(-ia, xein'*), y(—ia - хе""4), y(la, -xe"<Tt'4), y(ia, Xirtnii). Вообще, переменная x и параметр а могут принимать произвольные комплексные значения.
Но для практических приложений особенно важны действительные решения уравнений в действительной
области, поэтому особое внимание уделяется именно таким решениям. Как правило, формулы приводятся отдельно для каждого из уравнений 19.1.2 и 19.1.3.
Важным следствием изложенных выше свойств этих уравнений является тот факт, что функция, симметричная относительно оси у, в большинстве случаев является линейно независимым решением. Поэтому таблицы можно составлять либо только для положительных значений х, либо только для одного решения уравнения 19.1.2 или 19.1.3.
УРАВНЕНИЕ
dly
-(T+")' = 0
19.2. РАЗЛОЖЕНИЯ В СТЕПЕННОЙ РЯД ПО х
Четное и нечетное решения уравнения 19.1.2 задаются формулами 19.2.1-19.2.4.
19.2.1. j1-<Г"'iMf^+1. — ] =
\2 4 2 2 ]
+ і, і).
19.2.2. лЛ-і + І. J-.
І 2 4 2 2 J
у, — хе "1MI--Ь — . ~ . — І =
U 4 2 2 j
19.2.4. „-„"/«Aff-^ + i. 1,
І 2 4 2 2 J
- е'Ч'і 19.2.3.
-«V« L , І. , З ^ Xа
Все зги ряды сходятся для любых значений X (функции M (а, с, z) см. в гл. 13). Те же решения можно задать и другим способом:
19.1.5. уг = I + а — + (а' + Д — +
2! 1. 2/4!
19.2.6. у, = X + а — + fi
3!
где не равные нулю коэффициенты при — (обозначим их через ап) связаны соотношением
, I « , ОС з . 21Ial X1«
+ Ia' + 25o +- - + ...,
1 4 У IOl
19.2.7. o»+s - аа„ -I--(л - l)o»-i,
4
19.3. СТАНДАРТНЫЕ РЕШЕНИЯ
В качестве стандартных были выбраны решения с асимптотическим поведением, описанным в 19.8. Первое представляет собой функцию Уиттекера (19.8, 19.9) в более симметричных обозначениях:
19.3.1. U(а, х) - D4t-Ifdx) -
19.3.2. V(a, х) - 496
19. функяии параболического цилиндра
19.3.3. Y1 =
. Г(М)
Vrr 2е'«+1'
= V7t
.JMl
Vi г"»-1'4
11 j. a^
2№I,ir(7 + f)J
¦ Я-
'(M)
19.3.5. U(a, 0) - -
V*
'(M)'
ja/2+1/4р
(M)
V\a, 0) =
19.3.6. К(а, 0) - -
¦ I3
in -----I
U 2 j
SHW sin
V'tft, 0) =
(M)
¦ C1 "1
;m тс —--I
14 2}
