Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
для дополнительных аргумсгпси и и К — и.
В терминах тэта-функций, определенных в 16.27, і -= ~и;('1К) имеем
16.36.6. »,(к) -1636.7, 9a(u) =
Рис. 16.4. Тэта-Функции Невилля »,(к), ад, (и), «,(и); т = 1/2.
Рис. 16.5. Логарифмические производные тэта-функций Невилля
— In »,(«), — In »..(а); т - 1/2. du du
16.37. РАЗЛОЖЕНИЯ В БЕСКОНЕЧНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
Iq = g(m), V = іш/(2і0)
16.37.1. »,(і
. »,(u) = ( J^lV'6 sin V T-r (1 _2gH cos 2v+?'»). ImmtJ „_,
16.37.2. !""coivntl H-2g!»cos 2v-tY»).
16J7.3. Ы") =
16.37.4. »„(a)
f^]1/Un(l +2^- cos2v + f<->. I 16? J .-1
f—-^]1'12 П (1 - Vj cos 2» + V 16Я™'! »-1
16.38. РАЗЛОЖЕНИЯ В БЕСКОНЕЧНЫЙ РЯД
Полагая v = -и;(2К), получаем 16.38.1. -
. Г_ 2tiI1" I1'2 (-1)» (ЧМЧ Sin (In +1)», Wml1-Kj ^0
16.38.2. Эе(и) -
' ,«(»«) cos (2п + l)v,
L и1"* J
16.38.3. Sa(u) - [ +2S 5^c0s 2""} ' ПРИМЕРЫ
393
16.38.4. »„(«) .
16.38.5. ак/иу* = 1 + 2q + If + 2<7» + ... = »,(0, q), 16.38.6 ік'і-у" = 1+2? + 2,; + гч\ + ... =. ед»,»,), где ,і — дополнительный параметр Якоби (см. 17.3.18),
16.38.7. (2т''гК1п)г13 -
- V4U + і" + З' + s" + «*" + ••¦) - »¦№, «).
16.38.8. (2ш;'!*/и)1,!! =
= 1 - Tq + 2j« - 25» + ... - ?,(0, )q.
ПРИМЕРЫ
Пример 1. Вычислить nc (1,9965010.64) с 4S.
Из табл. 17.1 имеем и = 1.99650 - JST + 0.001. Пользуясь формулами 16.7, находим
'/(» -AT)+.
ПС (К + 0.001 ] 0.64) = - (0.36)-1"
. + ... = -1667 + .
Так как следуюпщй член разложения имеет порядок 0.001, значение —1667 верно с точностью 4S.
Пример 2. Используя понижающее преобразование Ландена, вычислить dn (0.20! 0.19) с 5D.
Здесь т - 0.19, т\> - — 0.9. По формуле 16.12.1 находим
К>
= (^
1 4- H1" = -
IO-0 • 7.67 равно нулю с требуе-
мой точностью (5 D), то, используя 16.12.4 и 16.13.3, получим
dn (0.201 0.19) =
Отсюда
dn [°'19[ (^J] = "-"'"I-dn (0.201 0.19) - 0.996253.
Пример 3. Используя повышающее преобразование Ландена, вычислить dn (0.2010.81) с 5D.
По формуле 16.14.1 [л =
4(0.9)
аз/
¦ш'
1 + — — • г = — • 0.20 _ 0.19. Так как ц?
19 20
нулю с требуемой точностью (5 D), то
dn(0.20| 0.81)
_19
20 '
-(019Iii)
Используя 16.15.3, находим 13601
1 |о.1
I 361J
sech (0.19) + 1. — th (0.19) X 4 361
x sech (0.19) [sh (0.19) ch (0.19) + 0.191 -
= 0.982218 + - . — (0.187746) (0.982218) х 4 361
X [(0.191145) (1.01810) + 0.19] =
= 0.982218 +
Таким образом,
•. — (0.184408) (0.384605) = 361
= 0.982218 + 0.000049 = (
dn (0,20| 0.81) = 0.98406.
Пример 4. Используя попышающеепреобразование Ландена, вычислить сп <0.201 0.81) с 6 D.
Параметры, вычисляемые но формуле 16.14.1, йозьмем нз примера 3.
Для вычислепия сп (0.20 і 0.81) по формуле 16.14.3 необходимо найти значение dn 10.19 которое получается I I361J
повторным применением преобразования Ландена, так как параметр ?f = Ю-8 • 7.67, полученный при нервом преобразовании, не удовлетворяет условиям заданной точности.
Таким образом, dn
Мій)-
0.982267. Подставляя
найденные значения в 16.14.3 и присваивая результату зяае в соответствии с графиком на рис. 16.1, будем иметь сп(0.2010.81) = 0.980278.
Пример 5. Используя метод А.Г.С., вычислить dc(0.672|0.36) с 4 D. Используя 16.9.6, получаем
dc*(0.6721 0.36) =* 0.36 +
0.64
.1 - sn2(0.672| 0.36)
Теперь вычисляем sn (0.67210.36) методом А.Г.С.,
ным в 16.4, 17.6. 394
16. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЯК.ОБИ И ТЭТА-ФУНКЦИИ
» On Ь„ Cn Cn фя Sin Фя Sin (2Ф.-.!— ф„) 2фя—і — фя
0 1 0.8 0.6 0.6 0.65546 0.60952
1 0.9 0.89443 0.1 0.11111 1.2069 0.93452 0.10383 0.10402
2 0.89721 0.89721 0.00279 0.00311 2.4117 0.66679 0.00207 0.00207
3 0.89721 0.89721 0.00000 0.00000 4.8234 -0.99384 0.00000 О.ООООО
<ря = 2*апи, <ра - 28(0.89721) (0.672) - 4.8234.
Процесс продолжаем, пока сп из будет нулем є точностью до пяти десятичных знаков. Затем в соответствии с 16.4 находим <р0 и далее sn и и de и\
9о = 0.65546, sn и — 0.60952, de и = 1.1740. Пример 6. Игпользуя метод А.Г.С., вычислить 0(0.6(0.36) с 5 D.
Применяя процедуру, изложгнную в J 6.32, 17.6 с начальными данными в„ = 1, ь0 =» 0.8, с0 «¦ 0.6, находим (значения оя, c„t — взяты из примера 5)
«я
к ф» Sin ф. sin Офа-t — фя) 2фв-і — Фя SCO (2фм-! — фя) 1 In SCC (2фя_, — фя)
0 0.58803 0.55472
1 1.0780 0.88101 0.09789 0.09805 1.0048 0.00120
2 2.1533 0.83509 0.OO260 0.00260 1.0000 0.00000
3 4.3066 -0.91879 0.00000 0.00000 1.0000 0.00000
Завершая вычисления по формуле 16.32.4, получаем In ©(ні т) = -0.05734 + 0.02935 + 0.00120 = = -0.02679, €>(ы I Tti) = 0.97357.
Использование рядов для вычисления ©(«! т) является более эффективным.
Пример 7. Используя разложения в ряд по параметру Якоби q = е~г-к'к, вычислить cs(0.53601 62] 0.09) с 7D.
Применим разложение 16.23.12 при ?(0.09) = 1.60804 862,
q = 0.00589 414, v = — = - = 30°. Так как ^4 мало по 2К 6
сравнению с 1 • 10"®, to с точностью 7D имеем cs(0.53601 621 0.09) =
= ^lctg 30° - sin 60*U
2К К U +?а j
